线性代数§5.1方阵的特征值和特征向量

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第五章 相似矩阵本章重难点 §5.1作 业 参考文献

方阵的特征值和特征向量 矩阵的相似对角化

§5.2

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第五章 相似矩阵预测人口流动问题

作 业 参考文献

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第五章重点: 重点:

相似矩阵(similar matrices)

特征值、 特征值、特征向量的求法 矩阵的对角化 难点: 难点:上一页 下一页 退出

矩阵对角化的判定

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§5.1 方阵的特征值与特征向量5.1.1 矩阵的特征值与特征向量的概念

考虑

3 4 A= 5 2

1 x = 1 上一页 下一页 退出

4 y = 5

0 z = 1

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§5.1 方阵的特征值与特征向量5.1.1 矩阵的特征值与特征向量的概念

1.def 设 A 为 n 阶方阵，如果对于一个数λ,存在一个 阶方阵，如果对于一个数λ

n 维非零列向量 x, 使得 x,使得

成立， Ax = λx成立，value), ,

则称数λ为方阵 A 的特征值 特征值(characteristic 则称数λ

非零向量 x 称为方阵 A 的对应于特征值λ的特征向量 对应于特征值λ的特征向量.(characteristic上一页 下一页 退出

vector)

例如

2 1 1 = 4 1 2 3 2 2

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2.求法 Ax = λx 可改写成 ( A λI )x = 0.

有非零解

A λI = 0a1n a2 n

a11 λ a12 a21 a22 λ 特征方程： 特征方程： A λI = an1上一页 下一页 退出

=0

an2

ann λ

特征多项式:

f ( λ ) = A λI

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定理5.1 定理5.1 设n阶方阵A= aij 阶方阵A

[ ]

λ1, λ2 , , λn ,则

n×n

的n个特征值为

()λ1λ2 λn =| A| 1 ( )λ1 + λ2 + + λn = a11 + a22 + + ann 2推论： 阶方阵A可逆的充分必要条件是A 推论： n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征 值非零上一页 下一页 退出

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求特征值和特征向量的 步骤 (step ):

(1) 求出A λI = 0的全部根， λi ; 的全部根， 即

(2) 求出 A λi I )x = 0的非零解， Xi . ( 即 非零解， 3 1 例1 求矩阵 A = 1 3 的特征值和特征向量 . 上一页 下一页 退出

注: 同一个特征值对应的特 征向量不一定相同。 征向量不一定相同。

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0 0 1 例2 求矩阵 A = 0 1 0 的特征值和特征向量 . 1 0 0

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解： A 对应于 λ 1 = λ 2 = 1的全部特征向量为 0 1 k1p1 + k2p2 = k1 1 + k2 0 . ( k 1 , k 2 不全为零 ) 0 1 A 对应于 λ 3 = 1的全部特征向量为

1 k3p3 = k3 0 . (k3 ≠ 0) 1

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k重根的基础解系一定含 个线性无关的解吗？ k个线性无关的解吗？ 2 1 2 例3 求矩阵 A = 5

3 3 的特征值和特征向量 . 1 0 2

解

A的特征方程为2 λ 2 1 3 3 λ 0 2 λ

A λI = 5 1上一页 下一页 退出

= (λ + 1) = 03

的特征值为： ∴ A 的特征值为： λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1,

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对 λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1, 3 1 2 A + I = 5 2 3 1 0 1

解( A+ I )x = 0,

~

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x1 = x 3 得 x2 = x3 x = x 3 3 A 对应于 λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1的全部特征向量为 1 kp = k 1 (k ≠ 0的任意常数 ). 1 量。 的 k 即k重特征值不一定对应 个线性无关 特征向量。

1 0 1 0 1 1 0 2 2

~

1 0 1 0 1 1 0 0 0

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征向量。 的特 征向量 。 k 即k重特征值不一定对应 个线性无关

设 重特征根， 注： λ 0 是 A 的一个 t 重特征根，则

λ 0 对应的特征向量中线性的最大个数 ≤ t .

无关

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的特征值， 例4 设 λ 是方阵 A的特征值，试证 λ2 是 A2 的特征值.的特征值， ∴ 证 ∵ λ 是A的特征值， 有非零向量 p,使 Ap = λ p

A 两边左乘 A, 2 p = A(λp)= λ ( Ap ) = λ (λp) = λ2 p.

由定义知， 由定义知， λ2 是 A2 的特征值 .上一页 下一页 退出

注：A对应于λ的特征向量 p,也是A2 对应于λ2 的特征向量.

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阶方阵， 例4 设A为n阶方阵，且 A2 = A,

试证 A 的特征值只能是 0和1 . 和证 设 λ 是 A的特征值， p 是对应于 λ 的特征向量， 的特征值， 的特征向量，则 Ap = λp, A2 p = λ2 p, (由上例知)

∵ A = A, ∴ A2 p = Ap = λp,2

故得 λ2 p = λp, (λ2 λ ) p = 0,上一页 下一页 退出

∵ p ≠ 0,∴ λ2 λ = 0.故 A的特征值只能 0和1. 和

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5.1.2 特征值与特征向量的性质 特征值与特征向量的性质(qualitative)

的特征值， 例1 设 λ 是方阵 A 的特征值，试证 λ 2是 A 2的特征值 .

可以推广如下： 可以推广如下：(1) λk是Ak的特征值 ; (2) kλ是kA的特征值 ;上一页 下一页 退出

(3) a0 + a1λ + amλm是 a0 I + a1 A+ am Am的特征值。 的特征值。

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n阶方阵 A = (a ij )的特征值为 λ1 , λ 2 , , λ n , 则有

∑λ = ∑ai =1 i i =1

n

n

ii

∏λ = A .i =1 i

n

3, 课堂练习 设三阶方阵 A的三个特征值为 2, 7, 求行列式 3 A + I .n 阶方阵 A 与 A T 有相同的特征值 .上一页 下一页 退出

证 由( A λ I )T = A T λ I有

A λI = ( A λI ) = A λIT T

有相同的特征多项式， 得 A 与 AT 有相同的特征多项式， 所以特征值相同 .