单个总体均值方差的检验

概率论与数理统计

主讲教师：关 丽 北京工业大学应用数理学院

第八章 假设检验§8.1 基本概念

下面，我们讨论不同于参数估计问题的 另一类统计推断问题——根据样本提供的信 息，检验总体的某个假设是否成立的问题。这类问题称为假设检验。

假设检验

非参数检验参数检验

总体分布已知情 形下，检验未知 参数的某个假设 总体分布未知情形 下的假设检验问题

先看一个例子。

例1:某工厂生产10欧姆的电阻，根据以往生 产的电阻实际情况，可以认为: 电阻值 X服从 正态分布N( , 0.12)。现在随机抽取10个电阻, 测得它们的电阻值为: 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10.0, 10.5, 10.1, 10.2. 问: 从样本看，能否认为该厂生产的电阻的平 均值 =10欧姆?

I. 如何建立检验模型 确定总体：记X为该厂生产电阻的测量值， 则 X~N( , 0.12);●

●

明确任务：通过样本推断 “X的均值 μ 是否 等于10欧姆”; 假设：“X的均值μ =10”这一假设是否成立?

●

在数理统计中，把“X 的均值 μ =10”这 样一个待检验的假设记为“原假设”或“零 假设”,记成 “ H0:μ =10”。原假设的对立面是“X 的均值 μ ≠10”, 称为 “对立假设”或“备择假设”,记成 “ H1 : μ ≠10”。把原假设和对立假设合写在一起， 就是: H0:μ =10; H1:μ≠10.

II. 解决问题的思路因样本均值是 μ 的一个很好的估计。所 以，当 μ =10,即原假设 H0 成立时, | X 10 | 应比较小；如果该值过大, 想必 H0 不成立。 于是，我们就用 | X 10 | 的大小检验 H0 是否 成立。 合理的做法应该是：找出一个界限 c,当 | X 10 | c 时， 接受原假设 H 0 ; 当 | X 10 | c 时， 拒绝原假设 H 0 .

这里的问题是：如何确定常数 c 呢？

细致地分析: 根据定理 6.4.1,有

X X ~ N ( , 0.1 / 10) ,或 ~ N (0, . 1 ) 0.1/ 102

于是，当原假设 H0:μ =10 成立时，有X 10 ~ N (0, 1) . 0.1/ 10

为确定常数 c,我们考虑一个很小的正数 , 如 =0.05。当原假设 H0: μ =10 成立时，有 | X 10 | P Z / 2 , 0.1 / 10

即 P | X 10 | (0.1 / 10 )Z / 2 .故， 可取 c (0.1 / 10 ) Z / 2 .

于是，我们就得到如下检验准则:当 | X 10 | c 时， 接受原假设 H 0 ; 当 | X 10 | c 时， 拒绝原假设 H 0 .其中 c (0.1 / 10 ) Z / 2 .

X 10 称 | X 10 | 或 U 为检验统计量； 0.1/ 10称 | X 10 | (0.1/ 10 ) z / 2 , 或| X 10 | | U | z / 2 0.1/ 10

为原假设H0 的拒绝域。

用以上检验准则处理我们的问题，

经计算， X 10.05 , 得c (0.1 / 10 ) Z / 2 (0.1 / 10 ) 1.96 0.062 .

故， X 10 |

0.05 c. |所以，接受原假设 H0:μ=10。

III. 方法原理 因为，当原假设是 H0:μ =10 成立时， 所以，当 很小时，若 H0 为真(正确), 则检 验统计量落入拒绝域是一小概率事件(概率 很小，为 )。前面我们曾提到：“通常认为 小概率事件在一次试验中基本上不会发生”。 那么，如果小概率事件发生了，即:P | X 10 | (0.1/ 10 ) z / 2 .

| X 10 | (0.1/

10 ) z / 2

发生, 就拒绝接受 H0 成立，即认为 H0不成立。

IV. 两类错误与显著性水平当我们检验一个假设H0 时，有可能犯以 下两类错误之一：H0 是正确的，但被我们拒 绝了，这就犯了“弃真”的错误，即抛弃了 正确假设； H0 是不正确的，但被我们接受了，这 就犯了“取伪”的错误，即采用了伪假设。 因为检验统计量总是随机的，所以，我 们总是以一定的概率犯以上两类错误。

通常用α和β 记犯第一、第二类错误的概 率，即 P{ 拒绝H 0 | H 0为真 }, P{ 接受H 0 | H 0为假 } .

在检验问题中，犯“弃真”和“取伪” 两类错误都总是不可避免的，并且减少犯第 一类错误的概率，就会增大犯第二类错误的 概率;反之亦然。 所以，犯两类错误的概率不能同 时得到控制。

§8.2 正态总体均值的假设检验8.2.1 单正态总体N( , 2)均值 的检验 1. 双边检验 H0: μ=μ0;H1: μ≠μ0 假设 2已知，根据上节中的例1,当原假 设H0: μ=μ0 成立时，有 X ~ N (0, 1) . / n X 0 所以， P z / 2 , / n 0

即 P X 0 z / 2 . n 所以， 假设H 0拒绝域为 X 0

n

z / 2 .

以上检验法称作U检验法。 在应用上， 2未知的情况是常见的。此 时，和前面不同的是：常用样本方差S2代替 未知的 2 。