同济版高等数学课件 1-习题课

习题课 函数与极限一、 主要内容二、 典型例题

机动

目录

上页

下页

返回

结束

一、主要内容(一)函数的定义 (二)极限的概念(三)连续的概念

基本初等函数

复合函数 初等函数

函 数 的定义反函数 隐函数

函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性

双曲函数与 反双曲函数

反函数与直接 函数之间关系

1、函数的定义定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数 集.如果对于每个数x D,变量 y 按照一定法 则总有确定的数值和它 对应，则称 y 是 x 的函数， 记作 y f ( x ).

数集 D 叫做这个函数的定义域 ， x 叫做自变量， y 叫做因变量.函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .

函数的分类代 数 函 数

有 理 函 数

有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)

函 数

初 等 函 数

无理函数

超越函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)

2、函数的性质(1) 单值性与多值性:若对于每一个 x D ,仅有一个值 y f ( x ) 与之对 应,则称 f ( x ) 为单值函数,否则就是多值函数.

yy ex

y

( x 1) 2 y 2 1

o o

x

x

(2) 函数的奇偶性:设D关于原点对称 , 对于 x D, 有

f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) y

称f ( x )为偶函数 ; 称f ( x )为奇函数 ;y

y xo

y x3x

偶函数

o

x

奇函数

(3) 函数的单调性:设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果对于区间I上 任意两点 x1 及 x2,当 x1 x2时，恒有： (1) f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数 f ( x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调递减的； 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

y

y x2

当 x 0 时为减函数 ; 当 x 0 时为增函数 ;

o

x

(4) 函数的有界性:若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立, 则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.

y1 y x

在( ,0)及(0, )上无界; 在( , 1]及[1, )上有界.

1

o

1

x

(5) 函数的周期性:设函数 f(x) 的定义域为D,如果存在一个不为零的 数l,使得对于任一 x D,有 ( x l ) D .且 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.(通 常说周期函数的周期是指其最小正周期).

T 1

y

1

y x [ x]

o

1

x

3、反函数由y f ( x )确定的y f 1 ( x )称为反函数.y sinh x

y f 1 ( x ) ar sinh x

4、隐函数由方程F ( x , y ) 0所确定的函数 y f ( x )称为隐函数.如 y x e y 0

5、反函数与直接函数之间的关系设函数f ( x )是一一对应 函数, 则y

y f 1 ( x )

1 f ( f 1 ( x )) f 1 ( f ( x )) x x Df

( f ( x ),

x )

y f ( x)( x , f ( x ))x

2 y f ( x )与y f 1 ( x )的图象对称于直线y x .

o

6、基本初等函数

1)幂函数 y x x y a 2)指数函数

( 是常数) (a 0, a 1)

3)对数函数 y loga x 4)三角函数 y sin x;

(a 0, a 1) y cos x;y cot x;

y tan x;

5)反三角函数 y arcsin x; y arccos x;

y arctan x; y arc cot x

7、复合函数设函数 y f ( u) 的定义域 D f , 而函数 u ( x ) 的 值 域 为 Z , 若 D f Z , 则 称 函 数

y f [ ( x )]为x 的复合函数.

8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.

9、双曲函数与反双曲函数e e 双曲正弦 sinh x 2 x x e e 双曲余弦 cosh x 2 sinh x e x e x 双曲正切 tanh x x cosh x e e xx x

双曲函数常用公式

sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;

cosh x sinh x 1; sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;2 2

cosh 2 x cosh x sinh x .2 2

反双曲正弦 y arsinh x ; 反双曲余弦 y ar cosh x ; 反双曲正切 y artan x ;