函数模型的应用实例(第一课时)

一、新课引入到目前为止，我们已经学习了哪些常用函数？

一次函数二次函数 指数函数

y ax by ax bx c2x

(a≠0)

y a (a 0, 且a 1)

对数函数幂函数

y log x(a 0, 且a 1)a

y x

a

例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图3.2-7所示。v /(km h -1)

(1) 求图3.2-7中阴影部分的 面积，并说明所求面积的 实际含义；解：(1)阴影部分的面积为

90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5

t/h

50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360

图3.2-7

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路 程为360km

(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前 的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表 读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。 解：根据图3.2-7,有s90 802400

v /(km h -1)

S=

50t+2004 0≤t<1 80(t-1)+2054 1≤t<2 90(t-2)+2134 2≤t<3 75(t-3)+2224 65(t-4)+2299 3≤t<4 4≤t<5

70 602300

502200

40 30

2100

20 10

2000

10 1

22

33

4

54

t/h5

t

这个函数的图象如图3.2-8所示

图3.2-7 图3.2-8

例4 人口问题是当今世界各国普通关注的问题。认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了 自然状态下的人口增长模型： rt 0

y ye

其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示 人口的年平均增长率。 表3-8是1950~1959年我国的人口数据资料：年份 人数/万 人 195055196

195156300

195257482

195358796

195460266

195561456

195662828

195764563

195865994

195967207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口 增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据 是否相符；解：(1)设1951~1959年的人口增长率分别为 r1,r2,…,r9. 由 55196 (1+r1) =56300

可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200。同理可得， r2≈0.0210 r5≈0.0197 r6≈0.0223 r8≈0.0222 r3≈0.0229 r4≈0.0250 r7≈0.0276 r9≈0.0184

于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为 r=(r1+r2+·· 9)÷9≈0.0221 ·+r

令y0=55196,则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为

y 55196 e

0.0221t

,t Ny70000

根据表3-8中的数据作出散点图， 并作出函数的图象(图3.2-9)。

65000

60000

由图3.2-9可以看出，所得模型与 1951~1959年的实际人口数据 基本吻合。

55000 50000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t

图3.2-9

(2)如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的 人口达到13亿？ 解：将 y=13亿代入

y 55196 0.0221t , t N et≈38.76

由计算器可得

所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年

后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿。 由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口 自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。

练习1

中国移动通讯公司拥有“全球通”“神州行”“动感地 三大著名客户品牌. “全球通”:收费标准是月租费50元 通话1分钟话费0.4元；“神州行”:不缴月租费，本地接听 和主叫均为0.6元/分钟，长途0.8元； “动感地带” (M—zone)是今年3月份北京移动为年轻一族量身定做 的移动客户品牌.其最大卖点在于其短信套餐，分别为 每月支付20元可发300条短信或者每月支付30元可发500 条短信(假设选择第一种套餐),一条不到一毛钱， 资费标准：中国移动网内0.4元/分钟，网外0.6元/分钟， 免交月租.若一个月内通话分钟为x(仅考虑均拨打本地 网内电话的情况), 三种方式的费用分别为y1元、y2元和y3元.

(1)一个月内通话多少分钟，“全球通”与“神州行” 通讯费相同？(2)某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种 通讯方式合算？ 解：(1)y1=50+0.4x,y2=0.6x,y3=20+0.4x, 由y1=y2,解得x=250,所以一个月通话250分钟， 两种方式通讯费相同.

(2)当x=300时，y1=170元，y2=180元， y3=140元，所以使用“动感地带”合算 些.

解函数的应用问题，一般地可按以下四步进行： 第一步：阅读理解，认真审题 第二步：引进数学符号，建立数学模型 第三步：利用数学的方法求解数学模型 第四步：再转移成具体问题作出解答

1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应 的确定的函数模型。 2.根据收集到的数据，作出散点图，并通过观察 图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器 的数据得出具体的函数解析式。再用得到的函 数模型解决相应的问题。

注 意

用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由 于实际问题的条件与得出已知模型的条件有 所不同，因此，往往需要对模型进行修正。