聚焦高考数列问题

38数学通讯　　　　　　　　　　　　　2003年第13期

聚焦高考数列问题

李家煜

(南部县建兴中学,四川　637305)

中图分类号:O122-44　　　　文献标识码:A　　　　文章编号:0488-7395(2003)13-0038-04

　　数列在高中数学中占有非常重要的地位,是高考的重点、热点.通常以数列为载体,与函数、不等式、解析几何的知识进行综合,结合数学思想、方法,与时代信息融为一体,考查学生的能力.深化能力立意,突出考查能力和素质的导向.设问情境新颖、独特、综合性强.本文聚焦高考近十年的数列问题,给予剖析.对高考复习形成新的理念有所帮助.1　等差、等比混合数列的整合

[方法2]

2

=S1,∴a1=2.

=Sn,

2

=

2

Sn-2((

Sn-Sn-Sn-Sn=Sn=2n.an=Sn-Sn-1

2

Sn(n≥2).

Sn+2=Sn-1,)2=Sn-1,)=

Sn-1

Sn-1(Sn>2),

直接考查等差、等比数列的整合,数学归纳、猜想、类比的数学思想.

例1　(1994年高考25题)设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.

1)写出数列{an}的前3项;

2)求数列{an}的通项公式;(写出推证

=,

S1+(n-1)=n,

=4n-2.

显然a1也满足.3)bn=+1.

2n+1

lim(b1+b2+…+bn-n)

n→∞

2+=-4n-24n+2n-1

过程)

3)令bn=

2

n→∞

aa(n∈N),+

anan+1a=lim(1-n→∞

求lim(b1+b2+…+bn-n).解　由题意有

2

=

Sn.

+-+…+-3352n-1

)=1.

2n+1

评析　本题涉及等差、等比混合数列,考查学生建立递归关系式,观察、分析、类比、及直觉思维,考查学生思维灵活性、敏捷性.

例2　(2002年全国高考理科22题,天

1)a1=2,a2=6,a3=10.

2)[方法1]猜想an=4n-2,再用数学

归纳法证明.

收稿日期:2003-03-25

),男,四川南部县建兴中学高级教师,学士.作者简介:李家煜(1963—

2003年第13期　　　　　　　　　　　　　数学通讯39

津、山西、江西卷)已知数列{an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,

an+1an=(an-1

+2)(an-

2

+2),n=3,

解　设2001年末汽车保有量为b1万

辆,以后各年末汽车保有量依次为b2万辆,b3万辆,…,每年新增汽车x万辆,则:

b1=30,b2=b1×0.94+x,

4,5,…

(Ⅰ)求a3;(Ⅱ)证明:an=an-Sn.

)由题设得a3a4=10,且a3,a4解　(Ⅰ

2

+2,n=3,4,5,…

对于n>1,有bn+1=bn×0.94+x=bn-1×0.942+

(1+0.94)x,

(Ⅲ)求{an}的通项公式及其前n项和

∴bn+1=b1×0.94n+x(1+0.94+…+0.94

n-1

均为非负整数,所以a3的值可能为1,2,5,10,若a3=1,则a4=10,a5=,与题设矛

2盾;若a3=5,则a4=2,a5=,与题设矛

2

盾;若a3=10,则a4=1,a5=60,a6=,与

5

题设矛盾;所以a3=2.

(Ⅱ)用数学归纳法证明(略).(Ⅲ)由a2k-a2k=a2(k-a2k-).2,3,…

11)

1

n

)=b1×0.94+x=

0.06

n

0.06

+30-

0.×0.94n.

当30-

0.06

≥0,即x≤1.8时,

bn+1≤bn≤…≤b1=30;

当30-n→∞

0.06

<0,即x>1.8时,

limbn=lim[

n→∞

0.06

+(30-

0.06

)×

=a2(k-

1)-1

+2,a1=0及

+2,a2=3得,

0.94n-1]=

0.06

,并且数列{bn}递项增加,.

=2(k-1),a2k=2k+1　(k=1,

可以任意靠近

0.06

即　an=n+(-1)n,n=1,2,3,…

Sn=

n(n+1),当n为偶数,2

n(n+1)-1,当n为奇数.2

因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,即

),bn=60(n=1,2,3,…

则

0.06

≤60,即x≤3.6(万辆).

评析　本题考查数列与等差数列前n项和等基础知识,以及准确表述,分析和解决问题的能力.其中第一问是学生思维的障碍,是打通此题的关键.而分类讨论自始至终贯穿在整个题中.

2　运用数列知识,解决实际问题

综上,每年新增汽车不应超过3.6万辆.

答:每年新增汽车不应超过3.6万辆.评析　本题考查不等式、数列、数列的极限等基础知识,考查建立数学模型、应用所学知识解决实际问题的能力.本题也可用逆向思维简捷获解.3　数列与不等式的交汇

数列与不等式的交汇,考查学生的数学意识,数学思维.

例4　(2002年北京文20题)数列{xn}由下列条件确定:x1=a>0,xn+1=2

xn+

,n∈N.xn

运用数列的知识,在新的情境中建立数学模型,解决实际问题.

例3　(2002年全国高考卷20题)某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同.为了保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

(Ⅰ)证明:对于n≥2,总有xna;(Ⅱ)证明:对于n≥2,总有xn≥xn+1.

40数学通讯　　　　　　　　　　　　　2003年第13期

n

+∑k-k=11+ak1+a11+a1k=22

n

∑k-1=.

1+a1k=121+a11+32

解　(Ⅰ)由x1>a>0及xn+1=2

xn+

,可由归纳法证明xn>0(略),xn

∑

n

1

=

从而有xn+1=

(n∈N),

2

xn+

xn

≥xn=

xn

a

所以,当n≥2时,xna成立.

(Ⅱ)当n≥2时,因为xna>0,xn+1=

2

x

n+

,xn

评析　本题考查数列和不等式知识的整合,考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力.在数列与不等式的交汇处设计,使学生的数学理性思维能力得到了全面的考查.4　以数列为载体,考查函数综合问题

以数列为载体,设计新情境的问题,考查学生的数学意识、数学思维.

例6　(2001年全国高考22题)设f(x)是定在R上的偶函数,其对称轴为x=1,对

x1,x2∈0,都有f(x1+x2)=f(x1)

2

f(x2),f(1)=a,a>0,问:

1)f

2

,f

所以xn+1-xn=

2

≤0.

2xn

2

xn+

xn

-xn=

故当n≥2时,xn≥xn+1成立.

评析　本题考查数列、数列极限、不等式等基本知识,考查逻辑思维能力.

例5　设数列{an}满足an+1=a2n-nan+1,n=1,2,3,…

(Ⅰ)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此

的值;4

2.

2)证明:f(x);3)求limlnf2n+

n猜想出an的一个通项公式;

(Ⅱ)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,

解　1)f f

4

=f2

4

2

=f

+44

=f

4

有

1)an≥n+2;

2)++…+.1+a11+a21+an2

)由a1=2,得a2=3,a3=4,a4解　(Ⅰ=5.

≥0,

=f2

2

=a,

f(1)=f

+22=a2.4

=a4.

∴f

2

同理f

由此猜想an的一个通项公式:

an=n+1(n≥1).

(Ⅱ)1)用数学归纳法证明(略).

x),

2)∵f(-x)=f(x),f(1-x)=f(1+

2)由an+1=an(an-n)+1及1),对k

≥2,有

ak=ak-1(ak-1

-k+1)+1≥ak-1(k-

1+2-k+1)+1=2ak-1+1,

…

∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1

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