大学物理 马文蔚 课堂笔记9

§1.2

圆周运动

圆周运动是一种特殊的曲线运动. 对于圆周运动, 在极坐标系和自然坐标下描述更简单.

一、平面极坐标和自然坐标系1. 平面极坐标系

yA (x,y)y

设一质点在Oxy平面内运动，某时刻它位于点 A .A点的位置可以用位矢 r xi y j 表示. 也可用位矢的大小 r和位矢与 x 轴之间的夹角为 表示.

r

o(1)

以( r , ) 为坐标的参考系称为平面极坐标系 . 极坐标系和直角坐标之间的变换关系为

即质点在点 A 的位置可由A(r, ) 来确定.

x

x

x r cos ,2. 自然坐标系

y r sin

A (x,y)et切线

质点作曲线运动时, 任意一点处以切线和法线为 坐标轴构成的坐标系称为自然坐标系. 如图所示,

en法线1 /13

e t 和e n

是切线方向和法线方向的单位矢量.上海师范大学

§1.2 圆 周 运 动 二、圆周运动的角速度和角加速度1. 角坐标

yB

如图所示, 质点在平面上作半径为r的圆周运动.在某一t时刻, 质点在A位置, 其坐标为A(r, ). 显然, 当质点在圆周上运动时, 角 将随时间变化.

ro

A

因此, 角 是时间的函数 (t). (t) 称为角坐标.质点运动的快慢怎么表示 ? 因半径 r 不变, 因此如果角坐标随时间变化越快, 则质点运动越快. 为了描述角坐标 (t)随时间变化的快慢, 引入角速度. 2. 角速度 角坐标 (t)随时间的变化率, 即 d /dt 叫做角速度. 用符号 表示. 即角速度

x

(t )

d (t ) dt

(2)

角度的单位用弧度(rad)表示, 因此角速度的单位为 弧度每秒, 符号为 rad ·-1 s 角速度随时间变化的快慢又用什么量来表示呢 ?上海师范大学2 /13

§1.22. 角加速度

圆周运动

角速度 (t)随时间的变化率, 即 d /dt 称为角加速. 用符号 表示.

即角加速度

d dt

(3)

yBds

3. 圆周运动的速率 质点在dt 时间内的位移为 d r 由图可知, 有 d r ds rd 因此质点在A点处的速度大小(速率)为

ro

d

dr

A

x

ds rd dr r (t ) dt dt dt即

v(t) r (t)

(4)

(4)式就是质点作圆周运动时的速率与角速度的关系. 质点作圆周运动时, 速度方向不断改变, 因此圆周运动是变速运动 ! 有加速度 ! 圆周运动的加速度有什么特点 ?上海师范大学3 /13

§1.2

圆周运动

三、圆周运动的切向加速度和法向加速度速度方向沿切线方向, 因此在自然坐标系下质点的速度可表示为

v2

v vet r et请注意:

(5)

切线方向单位矢量 e t 是随时间变化的 !!

o

et 2 v1 et1

r

因此, 圆周运动的加速度

dv dv a et v det dt dt dt下面分别讨论(6)式中的二项.

(6)

上海师范大学

4 /13

dv dv a et v det dt dt dt1. 切向加速

度

§1.2

圆周运动(6)

v2

?o

dv e 的方向沿切线方向, 因此称为切向加速度. 用 a 表示. t dt t即

et 2 v1 et1

at

d et dt

r

(7)

切向加速度的大小为

d at dtat 0

(8)

切向加速度的方向沿切线方向.特别地, 当质点作匀速率圆周运动时, 有

(6)式中的第二项称为法线方向的加速度, 简称为法向加速度.上海师范大学

为什么 ?5 /13

圆周运动的加速度 2. 法向加速度

a dv et v det dt dt

§1.2

圆周运动

v2

?o

质点作圆周运动时, 切向单位矢量的长度不变, 方向 随时间变化. 如右下图所示. t 时间内, 切向单位矢量的变化大小为

et 2 v1 et1

r

et et1 当 很小时, 有 et e t1 即 e 平行于法线方向 e n . t

et et1 et 2

et d et d en t 0 t dt dt lim因此,

e n 是法向单位矢量

det d e v dt dt n

称为法向加速度.6 /13

上海师范大学

§1.2法向加速度

圆周运动(1’)

d en an dt

v2

圆周运动的加速度小结 :圆周运动加速度

o(2’) (3’)

et 2 v1 et1

dv a a an a et anen et v en t t dt大小2 2 a at an

r

切向加速度(速度大小变化引起)

at dv r d r dt dt

( v r )

v 2 v(4’)

法向加速度(速度方向变化引起)

(5’)

v1

d v2 2 an v r dt r上海师范大学

7 /13

§1.2 圆 周 运 动 四、匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动1. 匀速率圆周运动

质点作匀速率圆周运动, 速率因此切向加速度 at 根据

v(t) r (t),

d 0 dt

v 为常数.

匀速率圆周运动的角速度 也为常量 .d 0 dt

所以角加速度

加速度 a a an a et anen anen r 2 en t t匀速率圆周运动只有法加速度, 没有切向加速度 !

(9)

d dt设t=0时, = 0; 则由此可得 0

d dtt t 0 0

d dt dt t 0 t上海师范大学

(10)8 /13

§1.2

圆周运动

2. 匀变速率圆周运动 质点作匀变速率圆周运动, 速率是随时间变化的, 而角加速度 = 常数. 切向加速度

at r

也是常数

法向加速度加速度

an r 2

2r

不是常数 (11)

a at an r et r 2 en d dt

设t=0时, = 0, = 0; 则

d dt

d dt

0 t 0 0t 1 t 22(12)

d dt

上两式消去时间 t , 可得

2 02 2 ( 0 )v v0 atvt2 02 2a( x x0 )x x0 vt

at 2 / 2

(9)式形式上与匀变速直线运动的公式相似.

上海师范大学

9 /13

§1.2

圆周运动

五、例题分析 例 1 对于作曲线运动的物体, 判断下列说法是否正确的：(A) 切向加速度必不为零；

(B) 法向加速度必不为零(拐点处除外);(C) 由于速度沿切线方向, 法向分速度必为零, 因此法向加速度必为零；

(D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；

(E) 物体的加速度 a 为恒矢量, 它一定作匀变速率运动 .

A

例 2 如图歼10超音速战斗机在钓鱼岛附近进行巡航训练，高空 A 时的水平速率为 1940 km/h , 沿近似于圆弧 的曲线俯冲到点 B ,其速率为 2192 km/h , 所经历的时间

vAB

r

为 3s , 设圆弧 AB的半径约为 3.5km , 且飞机从A 到B的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动, 若不计重力加速 度的影响, 求: (1) 飞机在点B 的加速度; (2)飞机由点A

o

vB10 /13

到点B 所经历的路程 .上海师范大学

§1.2

圆周运动A

解

已知：v A 1940 km h 1 538 .9m s 1

vB 2192 km h 1 608 .9m s …… 此处隐藏：2259字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……