数学 学年论文 毕业论文 定积分的应用1

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定积分的应用

摘要：本文简要的讨论了定积分在数学、物理学科的基本应用：数学方面包括应用定积分计算平面图形的面积，立体图形的体积，求数列极限和证明不等式；物理方面包括应用定积分去求变力对物体所做的功以及求电场的场强。 关键词： 定积分 ；电场强度； 数列极限

引言：恩格斯曾经指出，微积分是变量数学的最重要的部分，微积分是数学的一个重要的分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具：如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中精确的测量计算成为可能，从而使物理学得到了长足的发展：如气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用得到微积分。 一 定积分在计算图形面积,立体图形体积上的应用 1 计算平面图形的面积

例1 计算一块材料（如右图）的面积 分析: 做图:

图1

如图1 阴影部分面积即为材料面积,抛物线方程为y x2 1,直线方程x y 3 解: 由于曲线y x2 1与直线x y 3在点(1,2)相交,所以:

S

3

x2 10 x 1

f(x)dx, 其中f(x)

3 x1 x 3

1

2

3

1

所以S (x 1)dx (3 x)dx =

1x3x23

x+3x

032

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19110

= 1 (9 ) (3 )

3223

2 求立体图形的体积

用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,例如一个木块的体积,我们可以将此木块作分割T:b x0 x1 xn c划分成许多基本的小块,每一块的厚度为 (x),假设每一个基本的小块横切面积为A(x),A(x)为 b,c 上连续函数，则此小块的体积大约是A(x) (x),将所有的小块加起来,令→0,我们可以得到其体积V A(x) (x) 。

T 0

x bc

下面来看几个例题:

例2 一块由直线y a和直线x 3a及弧y2 ax,(a x 3a,a 0)所共围成的 区域，以x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？

分析：如图2，阴影区域即为题意所指的区域, 其旋转体积求法， 可将区域APQB 的旋转体积减去区域APCB的旋转体积，即为所求。 解：首先来求区域APQB的旋转体积：

x23a9a2a2

axdx a a( ) 4 a2 02a22

3

而区域APCB的旋转体积为一个圆柱体的体积 其半径为a，高为2a， 故其体积为 a22a 2 a3。

所以区域PCQ的旋转体积为4 a3 2 a3 2 a3 例3 由曲线y b(1 e)， x轴及垂线x 0和x 2a 图2 所围成的区域绕x轴旋转一周,试求此体积。 解: 如图3 旋转体积为

x

a

xa

y2dx b2(1 e)2dx

2a2a

b2 (1 2e e)dx

2a

xa2xa

图3

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2a2eeaa ) b2(2a 2ae2 e4) b2(0 2a ) 12022aa11

ab2(2e2 e4 )

22

b2(x

xa2xa

二 物理应用

定积分在物理学中的应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正是由于微积分的迅速发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能,从而使物理学得到长足的发展。

1 定积分在力学中的应用

举一个最简单的例子:有一个方向恒定的变力F对一个物体做功,若这个变力对物体的作用距离为S， F为S的函数F f(s),则有变力F所做的功为 f(s)ds (其中a,b

ab

为变力F的起始与末尾值)；下面列举实际应用中例子 。 例4 重量为p的摆锤系于绳的下端,绳长为l,上端 固定如右图4所示,一水平变力F从零逐渐增大缓慢的作用在摆锤上,使摆锤虽然移动,但在所有时间内均匀无限接近力平衡,一直到绳子与竖直

直线成 0角的位置，试计算变力F所做的功。 解： 按题意，在任意位置上（由角位置θ表示），摆锤无限的接近于力平衡，所以可由摆锤所受合力极接近于零来计算。在水平方向与竖直方向分

别 有：F Tsin 0 ， Tcos p 0，式中 图 4

T是摆锤所受绳的拉力，于是有 F ptan ；当摆锤在θ位置上沿圆弧作微小位移

ds时，F力所做的微功为dw fds Fcos ds将F ptan ds ld 代入得：

dw pltan cos d plsin d ；所以在摆锤从初始位置( 0)到位置( 0)的过程

0

中，F力对摆锤所作的总功为：W dw plsintdt pl(1 cos 0) 。

此外,应用定积分对物体的运动过程进行分析也是十分方便的,例如匀加速运动: 设质点沿X轴作匀加速直线运动,已知加速度为a(为一个恒定量)和初始运动状态(即t=0时刻质点的坐标位置x0和初速度v0)要确定质点某一时刻的运动状态,也就是要

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求其坐标x和速度v随时间t的函数表示式x(t)和v(t)。先将瞬时加速度的数学式

dv

a改写成dv adt，已知a为恒定量,对上式两边去积分,并应用质点在t 0时刻dt

，式（1）就是确定v v0的初始条件得 dv adt 即 v v0 at （1）

v0

vt

质点在匀加速直线运动中速度v的时间函数式。根据瞬时速度的数学式v 改写成

dx

把式（1）dt

xtdx

v0 at或dx (v0 at)dt，然后对两边取积分得： dx (v0 at)dt 即

x0t0dt

11

x x0 v0t at2 或x x0 v0t at2 （2），式（2）就是在匀加速直线运动

22

中确定质点位置的时间函数式，也就是质点的运动方程。此外，如果把瞬时加速度改写成：a

dvdvdxdv v 即 vdv adx ； dtdxdtdx

vx12

) a(x x0) 对两边取积分 vdv adx 得 (v2 v0

v0x02

2

即 v2 v0 2a(x x0) …………………………（3）

式（3）就是质点坐匀加速运动是质点坐标x和速度v之间的关系式 。 2 定积分在电学中的应用

例5设真空中有一均匀带点直线，长为l总电量为Q，线外有一点p离直线的垂线距离为a，p点和直线两端点的连线之间的夹角分别为 1和 2，如图5所示，求p点

的场强。 图 5

解：这里产生电场的电荷是连续分布的，所以首先要把整个电荷分布划分为许多电荷元dq，求出每一电荷元dq的给定点的场强dE，然后根据场强叠加原理，按E dE的关系求总场强，由于场强dE本身是矢量，所以必须注意选取方位适当的坐标系，以便求出分量dEx，dEy，dEz，再经积分计算求得Ex，Ey，Ez

我们以p点到直线的垂足o为原点，取坐标轴ox，oy如图，在带电直线上离原点为l处取长度元dl,dl上的电量为dq，设直线上每单位长度所带电量 ，（ 称为电荷线密度），

Q

，所以dq dl ；设dl到p点的距离为r可知dq在p

点处产生的场强l

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dE的大小为dE

dl

方向如图，dEx dEcos ，dEy dEsin 图中z轴未画出，2

4 0r

显然dEy dEsi n从图可知: l a ctg( ) a tg ，dl a csc2 d ，

2

r2 a2 csc2 。所以 dEx

，dEy 。将（1），cos d （1）sin d （2） …… 此处隐藏：5994字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……