2011年高考湖南卷文科数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

（湖南卷）

参考公式（1）柱体体积公式V Sh，其中S为底面面积，h为高． （2）球的体积公式V

43

R，其中R为球的半径．

3

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1．设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩CuN=﹛2,4﹜,则N=

A．{1,2,3} B． {1,3,5}

C． {1,4,5}

D． {2,3,4}

2．若a,b R，i为虚数单位，且

(a i)i b i则

A．a 1，b 1

B．a 1,b 1

C．a 1,b 1 D．a 1,b 1

正视图

侧视图

3．“x 1”是“x 1” 的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C． 充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A．9 42 B．36 18

C．

92

12 D．

92

18

俯视图

5 由K

2

2

算得，K

2

110 (40 30 20 20)

60 50 60 50

2

n(ad bc)

(a d)(c d)(a c)(b d)

7.8

附表：

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”

6．设双曲线

xa

22

y

2

9

1(a 0)的渐近线方程为3x 2y 0，则a的值为

A．4

sinxsinx cosx12

B．3

12

C．2 D．1

7．曲线y 在点M（

12

4

，0）处的切线的斜路为

2

2

A． B． C．

D．

8．已知函数f(x) ex 1,g(x) x2 4x 3，若有f(a) g(b)，则b的取值范围为

A．

2

2

B．

2

2

C． 1,3 D． 1,3

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题．．卡中对应题号后的横线上. ．

（一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）

x 2cos ,

9．在直角坐标系xOy中，曲线C1

的参数方程为 （ 为参数）.在极坐标系

y

（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为 cos sin 1 0，则C1与C2的交点个数为

10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是

（二）必做题（11～16题）

11．若执行如图2所示的框图，输入x1 1，x2 2,x3 4,x4 8则输出的数等于 12．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（-2）=3，则f（2）=_________． 13．设向量a，b满足

，b=（2，1），且a与b的方向相反，则a的坐标为________． y x

14．设m 1,在约束条件 y mx下，目标函数z x 5y的最大值为4，则m的值

x y 1

为 ．

15．已知圆C:x y 12,直线l:4x 3y 25. （1）圆C的圆心到直线l的距离为 ．

（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 ．

16．给定k N，设函数f:N N满足：对于任意大于k的正整数n，f(n) n k （1）设k 1，则其中一个函数f在n 1处的函数值为；

（2）设k 4，且当n 4时，2 f(n) 3，则不同的函数f的个数为 .

*

*

*

2

2

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且满足c sinA=acosC． （I）求角C的大小； （II

（B+

18．（本小题满分12分）

某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增

加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. （Ⅰ）完成如下的频率分布表

近20年六月份降雨量频率分布表

4

）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小.

概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．

19．（本小题满分12分）

如图3，在圆锥PO中，已知PO AB 2,点C在 A上B,且 CAB=30,为D

O的直径

A C

的中点．

（Ⅰ）证明：AC 平面POD;

（Ⅱ）求直线 OC和平面PAC所成角的正弦值.

20．（本小题满分13分）

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐

年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%． （Ⅰ）求第n年初M的价值an的表达式；

a1 a2 ... an

n

（Ⅱ）设An ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年

初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．

21．（本小题满分13分）

已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2，设l1与轨迹C相交于点A,B，l2

与轨迹C相交于点D,E，求AD,EB的最小值.

22．（本小题满分13分）

设函数f(x) x

1x

alnx(a R).

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性.

（Ⅱ）若f(x)有两个极值点x1,x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k.

问：是否存在a，使得k 2 a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学试题卷（文史类）参考答案

一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分)

1、(2011 湖南)设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩CuN=﹛2，4﹜，则N=( )

A、{1，2，3} C、{1，4，5}

B、{1，3，5} D、{2，3，4}

考点：交、并、补集的混合运算。

分析：利用集合间的故选，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合N． 解答：解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩CuN=﹛2，4﹜， ∴集合M，N对应的韦恩图为 所以N={1，3，5} 故选B

点评：本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具．考查数形结合的数学思想方法．

2、(2011 湖南)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a+i)i=b+i则( )

A、a=1，b=1

B、a=﹣1，b=1

D、a=﹣1，b=﹣1

C、a=1，b=﹣1

考点：复数相等的充要条件。 专题：计算题。

分析：根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值． 解答：解：∵(a+i)i=b+i， ∴ai﹣1=b+i， ∴a=1，b=﹣1， 故选C．

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