空间向量在立体几何中的应用-赵建文

本文以2010年高考题为例,介绍了空间向量在立体几何中证明平行问题、垂直问题、异面直线所成的角、线面角、二面角解题方法,是很有参考价值的一份资料.

空间向量在立体几何中的应用

河南省三门峡市卢氏一高老校区数学组（472200）赵建文

空间向量是高中数学中的重要内容之一，是处理空间线线、线面、面面位置关系和夹角的重要工具，是高考考查的重要内容之一.运用向量方法研究立体几何问题思路简单，模式固定，避免了几何法中作辅助线的问题，从而降低了立体几何问题的难度.本文将空间向量在立体几何中的应用的重要考点和解题方法作以解析.

【考点及要求】

1.理解直线的方向向量与平面法向量.

2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.

3.能用向量方法证明证明直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.

4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究集合问题中的应用.

【考点归纳分析】

考点1.利用空间向量证明空间垂直问题

利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考查的重点内容，考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，题目容易，是高考中的重要得分点.

例1(2010辽宁理19））已知三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明：CM⊥SN；

审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.

证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为

x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1），1AB，2

111），N（,0,0），S（1,,0） 222 1 11CM (1, 1,),SN ( , ,0), 222 11因为CM SN 0 0， 所以CM⊥SN . 22C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,

【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问

题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量

积为0证明两直线垂直.

EF分例2(2010天津理19) 在长方体ABCD A1BC11D1中，、

别是棱BC,CC1上的点，CF=AB=2CE, AB:AD:AA1 =

1:2:4.证明AF 平面A1ED

审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.

解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，

设AB 1,依题意得,D(0,2F

(1,2,1),

本文以2010年高考题为例,介绍了空间向量在立体几何中证明平行问题、垂直问题、异面直线所成的角、线面角、二面角解题方法,是很有参考价值的一份资料.

3 A1(0,0,4),E 1,,0 2

3 1 已知AF (1,2,1),EA1 1, ,4 ,ED 1,,0 于是AF·ED=0.EA1=0，AF·22

AF ED,又EA1 ED E 因此，AF EA1,

所以AF 平面A1ED

【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.

例3 （2010年山东文）在如图所示的几何体中，四边形

MA 平面ABCD，E、ABCD是正方形，PD//MA，G、

F分别为MB、PB、PC的中点，且AD PD 2MA.

求证：平面EFG 平面PDC.

审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法.

解析：以A为原点，向量DA,AB,AM分别为x轴、y轴、

如图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,z轴的正方向，

则B(0,2,0),C(－2,2,0),D(－2,0,0),P(－2,0,2), M(0,0,1),

则E(0,1, 1),G(－1,1,1),F(－2,1,1)， 2

1 ∴EG=(-1,0,),GF=(－1,0,0),设平面EFG的法向量m=（x，y，z），则 2

1EG m= x z=0且GF m= x=0，取y=1，则x=z=0，∴m=（0，1,0）, 2

易证面PDC的法向量为DA=(2,0,0), ∵m DA=2 0 0 1 0 0=0,

∴m⊥DA, ∴平面EFG 平面PDC

【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.

考点2.利用空间向量处理空间平行关系

空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一.

例4（2010 湖南理18）在正方体ABCD A1BC11D1，E是棱DD1的中点。在棱C1D

1上是

本文以2010年高考题为例,介绍了空间向量在立体几何中证明平行问题、垂直问题、异面直线所成的角、线面角、二面角解题方法,是很有参考价值的一份资料.

否存在一点F，使B1F∥平面A1BE?证明你的结论。

审题要津：本题坐标系易建立，可用向量法求解.

解析：以A为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长

为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),A1(0,0,2),B1(2,0,2)，

∴BE=(－2,2,1),BA1=（－2，0，2），

设面BEA1的法向量为m=（x，y，z），则

m BE= 2x 2y z=0且m BA1=2x 2z=0，取x=1，

则z=－1，y=33，∴m=（1，，－1）, 22

假设在棱C1D1上存在一点F，使B1F∥平面A1BE，设F(x0，2，2)（0≤x0≤2）,

3则BF=（x0 2，2，2）， 则m BF=1 (x0 2) 2 ( 1) 2=0， 2

解得x0=1， ∴当F为C1D1中点时，B1F∥平面A1BE.

【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围.

例5在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中 ABC=90,D是BC上一点，且A1B∥面AC1D，D1为B1C1的中点，求证：面A1BD1

∥面AC1D.

审题要津：本题的坐标系容易建立，可用向量法.

解析：以B点为原点，如图建立坐标系，设AB=a，BC=2b，

，C1(0，2b，c)，B1(0,0, c)，ABB1=c，则A（a,0,0）1(a，

0，c)， ∴D1(0，b，c)，设D(0，y0，0)（0≤y0≤2b）， 0

∴AD=(－a，y0，0)，AC1=(－a，2b，c)，BA1=(a，0，

， c)，BD1=（0，b，c）

m AD= ax1 y0y1=0

且设面AC的法向量为m=(x1，y1，z1)，则1D

本文以2010年高考题为例,介绍了空间向量在立体几何中证明平行问题、垂直问题、异面直线所成的角、线面角、二面角解题方法,是很有参考价值的一份资料.

ay 2ab， m AC1= ax1 2by1 cz1=0，取y1=a，则x1=y0，z1=0

c

ay0 2ab）， 又∵A1B∥面AC1D， c ay0 2ababbbay c ∴m BA==0，解得=， ∴=（，，）， yma001cc则m=（y0，a， 设面A1BD1的法向量为n=(x2,y2,z2),则n BA1=ax …… 此处隐藏：3651字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……