概率论与数理统计公式汇总

概率论与数理统计各章节公式汇总

第1章 随机事件及其概率

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(7)概率的 公理化定义

设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A),若满足下列三 个条件： 1° 0≤P(A)≤1, 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件 A1 , A2 ,…有

∞ ∞ P U Ai = ∑ P( Ai ) i =1 i =1常称为可列(完全)可加性。 则称 P(A)为事件 A 的概率。 1° = { 1 , ω 2 Lω n }, ω 2° P (ω 1 ) = P (ω 2 ) = L P (ω n ) =

(8)古典概 型

设任一事件 A ,它是由 ω 1 , ω 2 Lω m 组成的，则有

1 。 n

P(A)= {(ω 1 ) U (ω 2 ) U L U (ω m )} = P (ω 1 ) + P(ω 2 ) + L + P (ω m )

=

m A所包含的基本事件数 = n 基本事件总数

(9)几何概 型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的 每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一 事件 A,

P( A) =(10) 加法公 式 (11) 减法公 式

L( A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。 L ( )

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)=0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时，P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0,则称

P ( AB ) 为事件 A 发生条件下，事件 B 发 P ( A)

(12) 条件概 率

生的条件概率，记为 P ( B / A) =

P ( AB ) 。 P ( A)

(13) 乘法公 式

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P ( AB ) = P ( A) P ( B / A) 更一般地，对事件 A1,A2,…An,若 P(A1A2…An-1)>0,则有

P ( A1 A2 … An ) = P ( A1) P ( A2 | A1) P ( A3 | A1 A2) …… P ( An | A1 A2 … An 1) 。①两个事件的独立性 设事件 A 、 B 满足 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ,则称事件 A 、 B 是相互独立的。 若事件 A 、 B 相互独立，且 P ( A) > 0 ,则有

(14) 独立性

P ( B | A) =

P ( AB ) P ( A) P ( B ) = = P( B) P ( A) P ( A)

若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性

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第二章 随机变量及其分布

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(2) 连续型 随机变量的 分布密度

设 F (x ) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x ) ,对任意实数 x ,有

F ( x) = ∫ f ( x)dx ∞

x

,

则称 X 为连续型随机变量。 f (x ) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° 2° (3) 离散与 连续型随机 变量的关系

f ( x) ≥ 0 。

∫

+∞

∞

f ( x)dx = 1

。

P ( X = x) ≈ P ( x < X ≤ x + dx) ≈ f ( x)dx积分元 f ( x ) dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P ( X = xk ) = pk 在离散型随机 变量理论中所起的作用相类似。

(4) 分布函 数

设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数

F ( x) = P ( X ≤ x )称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。

P (a < X ≤ b) = F (b) F (a )

可以得到 X 落入区间 (a, b] 的概率。 分布函数 F ( x )

表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 2° 3° 4° 5°

0 ≤ F ( x) ≤ 1,

∞ < x < +∞ ;

F ( x) 是单调不减的函数，即 x1 < x 2 时，有 F ( x1) ≤ F ( x 2) ;F ( ∞) = lim F ( x) = 0 ,x → ∞

F (+∞) = lim F ( x) = 1 ;x → +∞

F ( x + 0) = F ( x) ,即 F (x) 是右连续的； P ( X = x ) =

F ( x ) F ( x 0) 。xk ≤ xx

对于离散型随机变量， F ( x) =

∑p

k

;

对于连续型随机变量， F ( x) = (5) 八大分 布 0-1 分布

∞

∫ f ( x)dx

。

P(X=1)=p, P(X=0)=q

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二项分布

在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数 是随机变量，设为 X ,则 X 可能取值为 0,1,2, L , n 。k P ( X = k ) = Pn ( k ) = C n p k q n k

,

其

中

q = 1 p,0 < p < 1, k = 0,1,2, L , n ,则称随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布。记为 X ~ B ( n, p ) 。 当 n = 1 时， P ( X = k ) = p k q 1 k , k = 0.1 ,这就是(0-1)分布，所 以(0-1)分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量 X 的分布律为

P( X = k ) =

λkk!

e λ , λ > 0 , k = 0,1,2 L ,

则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数为 λ 的 泊 松 分 布 ， 记 为 X ~ π (λ ) 或者 P( λ )。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞) 。 超几何分布

P( X = k ) =

k n C M C N kM k = 0,1,2 L , l , n l = min(M , n) CN

随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 几何分布

P( X = k ) = q k 1 p, k = 1,2,3, L ,其中 p≥0,q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。 设随机变量 X 的值只落在[a,b]内，其密度函数 f (x ) 在[a,b]上为常 数

均匀分布

1 ,即 b aa≤x≤b 其他，

1 , f ( x) = b a 0,

则称随机变量 X 在[a,b]上服从均匀分布，记为 X~U(a,b)。 分布函数为 0, x<a,

F ( x) = ∫ f ( x)dx = ∞

x

x a , b a1,

a≤x≤b x>b。

当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间( x1 , x 2 )内的概率为

P( x1 < X < x 2 ) =

x 2 x1 。 b a

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指数分布

λe λx ,f (x ) =0,

x ≥ 0, x < 0,

其中 λ > 0 ,则称随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布。 X 的分布函数为

F (x ) =

1 e λx ,0,

x ≥ 0,x<0。

记住积分公式：+∞

∫x0

n

e x dx = n!

正态分布

设随机变量 X 的密度函数为 ， ∞ < x < +∞ , 2π σ 其中 µ 、 σ > 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 µ 、 σ 的正

f ( x) =

1

e

( x µ )2 2σ 2

2 态分布或高斯(Gauss)分布，记为 X ~ N ( µ ,σ ) 。

f (x ) 具有如下性质：1°

f (x ) 的图形是关于 x = µ 对称的；

2° 当 x = µ 时， f ( µ ) =

1 2π σ

为最大值；

2 ( t X2 若 X ~ N ( µ ,σ )x,则 µ2) 的分布函数为 1 2σ

F ( x) =

2πσ

∫

∞

e

dt

。 。

σ 参数 µ = 0 、 = 1 时的正态分布称为标准正态分布， 记为 X ~ N (0,1) , …… 此处隐藏：9107字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……