圆锥曲线题型的解题技巧总结

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结

1.圆锥曲线的两个定义：

（1：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

已知定点F1( 3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．D．PF1

2

B．PF C．PF PF1 PF2 101 PF2 41 PF2 6

2

PF2

； 12（答：C）

（2）

8表示的曲线是_____（答：双曲线的左

支）

（2）点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

x2

如已知点Q(22,0)及抛物线y 上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____

4

（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2x acos （1）椭圆：焦点在x轴上时2 2 1（a b 0） y bsin （参数方程，ab

y2x2

其中 为参数），焦点在y轴上时2 2＝1（a b 0）。方程Ax2 By2 C表示椭

ab

圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

x2y2

如（1）已知方程 1表示椭圆，则k的取值范围为____（答：

3 k2 k

11

( 3, ) ( ,2)）；

22

22

（2）若x,y R，且3x2 2y2 6，则x y的最大值是____，x y的最小值是

___

2）

x2y2y2x2

（2）双曲线：焦点在x轴上：2 2 =1，焦点在y轴上：2 2＝1

abab

22

（a 0,b 0）。方程Ax By C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，

B异号）。

x2y2如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆 1有公共焦点，则该双曲线的方

942

x2

程_______（答：； y2 1）

4

（2）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e 2的双曲线C

过点P(4, )，则C的方程为_______（答：x2 y2 6）

（3）抛物线：开口向右时y2 2px(p 0)，开口向左时y2 2px(p 0)，开口向上时x2 2py(p 0)，开口向下时x2 2py(p 0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x,y

2

2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

x2y2如已知方程则m的取值范围是__（答： 1表示焦点在y轴上的椭圆，

m 12 m3

( , 1) (1,)）

2

22

（2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a最大，a b c，在双曲线中，

2

2

2

c最大，c2 a2 b2。

4.圆锥曲线的几何性质：

x2y2

（1）椭圆（以2 2 1（a b 0）为例）：①范围： a x a, b y b；

ab

②焦点：两个焦点( c,0)；③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心（0,0），a2四个顶点( a,0),(0, b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x ；

c

c

⑤离心率：e ，椭圆 0 e 1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

a

25x2y2如（1）若椭圆，则m的值是__（答：3或）； 1的离心率e

35m5

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）

x2y2

2 1（a 0,b 0）（2）双曲线（以为例）：①范围：x a或x a,y R；2ab

②焦点：两个焦点( c,0)；③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心（0,0），两个顶点( a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，

a2

称为等轴双曲线，其方程可设为x y k,k 0；④准线：两条准线x ； ⑤离

c

c

心率：e ，双曲线 e 1

e e越小，开口越小，e越大，

a

b

开口越大；⑥两条渐近线：y x。

a

如 （1）双曲线的渐近线方程是3x 2y 0，则该双曲线的离心率等于______（

2

或）；

3

1

（2）双曲线ax2 by2

1a:b4或）；

4

x2y2

（3）设双曲线2 2 1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角

ab

θ的取值范围是________（答：[,]）；

32

（3）抛物线（以y2 2px(p 0)为例）：①范围：x 0,y R；②焦点：一个焦点p

(,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y 0，没有2

pc

对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x ； ⑤离心率：e ，抛物

2a

线 e 1。

2

2

如设a 0,a R，则抛物线y 4ax2的焦点坐标为________（答：(0,

1

； )）16a

x2y2

5、点P(x0,y0)和椭圆2 2 1（a b 0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆

ab

2222

x0y0x0y0

外 2 2 1；（2）点P(x0,y0)在椭圆上 2 2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆

abab22x0y0

内 2 2 1

ab

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交： 0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

22

如（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围

是_______（答：(-

,-1)）； 3

x2y2

1恒有公共点，则m的取值范围是_______（2）直线y―kx―1=0与椭圆

5m

（答：[1，5）∪（5，+∞））；

x2y2

（3）过双曲线 1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则

12

这样的直线有_____条（答：3）；

（2）相切： 0 直线与椭圆相切； 0 直线与双曲线相切； 0 直线与抛物线相切；

（3）相离： 0 直线与椭圆相离； 0 直线与双曲线相离； 0 直线与抛物线相离。

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果

x2y2

直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线 …… 此处隐藏：8011字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……