第3章导数专练3—函数的零点与极值点-高三数学一轮复习

1 导数专练3——函数的零点与极值点

（1）当1a =时，求()y f x =在(e ，f （e ）)处切线方程；

（2）讨论()f x 的单调区间；

（3）试判断1a >时()0f x =的实根个数说明理由．

【解答】解：（1）函数2()(1)2a f x x a x lnx =

-++ 的导数为1(1)(1)()(1)x ax f x ax a x x

--'=-++=， 当1a =时，()y f x =在(e ，f （e ）)处切线斜率为2

(1)e e

-， 切点为21(,21)2

e e e -+， 可得切线方程为2

21(1)(21)()2e y e e x e e

---+=-， 即为22(1)12

e y x e e -=-； （2）1(1)(1)()(1)x ax

f x ax a x x

--'=-++=，0x >， ①当0a =时，1()x f x x

-'=

，可得()f x 的增区间为(0,1)， 减区间为(1,)+∞； ②当1a =时，2

(1)()0x f x x

-'=，可得()f x 的增区间为(0,)+∞； ③当1a >时，101a <<，可得()f x 的增区间为1(0,)a ，(1,)+∞，减区间为1(a ，1)； ④当01a <<，11a >，可得()f x 的增区间为(0,1)，1(a ，)+∞，减区间为1(1,)a ； ⑤当0a <时，()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞；

2 （3）

1a >时()0f x =的实根个数为1，

1a >时，101a <

<，可得()f x 的增区间为1(0,)a ，(1,)+∞，减区间为1(a ，1)， 可得()f x 的极小值为f （1）102a =--

<，极大值为11()102f lna a a

=---<， 且x →+∞，()f x →+∞，

可得()0f x =的实根为1个．

2．已知函数2()(1)1()f x ax ln x a R =--+∈存在极值点．

（1）求a 的取值范围；

（2）设()f x 的极值点为0x ，若00()f x x <，求a 的取值范围；

【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为(1,)+∞，

21221()211

ax ax f x ax x x --'=-=--， 当0a =时，()0f x '<，()f x 无极值点，

当0a ≠时，△00a >?>或2a <-，

设2()221h x ax ax =--，则h （1）10=-<，

3 当0a >时，()0h x =的两个根一个小于1，一个大于1，故()f x 有一个极值点，

当2a <-时，对称轴为12x =

，知()0h x =的两个根均小于1，故()f x 无极值点， 综上所述，0a >．

（2）由（1）知0a >，存在0x ，使得2002210ax ax --=，0012(1)

a x x ∴=-． 2

000

00()(1)1f x x ax ln x x <?--+<?200000(1)12(1)x ln x x x x --+<-， 0001

11(1)2(1)2x ln x x ?--+->-，令1()2g x x lnx x

=-+，显然()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又g （1）12

=，011x ∴->，即02x >， 00112(1)4

a x x ∴=<-， 104

a ∴<<． 3．已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．

【解答】解：（1）由2()(2)x x f x ae a e x =+--，求导2()2(2)1x x f x ae a e '=+--， 当0a =时，()210x f x e '=--<，

∴当x R ∈，()f x 单调递减，

当0a >时，11()(21)(1)2()()2x x x x f x e ae a e e a

'=+-=+-， 令()0f x '=，解得：1x ln a

=，

4 当()0f x '>，解得：1x ln a

>， 当()0f x '<，解得：1x ln a

<， 1(,)x ln a ∴∈-∞时，()f x 单调递减，1(x ln a

∈，)+∞单调递增； 当0a <时，11()2()()02x x f x a e e a

'=+-<，恒成立， ∴当x R ∈，()f x 单调递减，

综上可知：当0a 时，()f x 在R 单调减函数，

当0a >时，()f x 在1(,)ln a -∞是减函数，在1(ln a

，)+∞是增函数； （2）①若0a 时，由（1）可知：()f x 最多有一个零点， 当0a >时，2()(2)x x f x ae a e x =+--， 当x →-∞时，20x e →，0x e →， ∴当x →-∞时，()f x →+∞，

当x →∞，2x e →+∞，且远远大于x e 和x ， ∴当x →∞，()f x →+∞，

∴函数有两个零点，()f x 的最小值小于0即可，

由()f x 在1(,)ln a -∞是减函数，在1(ln a

，)+∞是增函数， 21111()()()(2)0min f x f ln a a ln a a a a

∴==?+-?-<， 1110ln a a ∴--<，即1110ln a a

+->， 设1t a =

，则()1g t lnt t =+-，(0)t >，

5 求导1()1g t t

'=+，由g （1）0=， 11t a

∴=>，解得：01a <<， a ∴的取值范围(0,1)．

方法二：（1）由2()(2)x x f x ae a e x =+--，求导2()2(2)1x x f x ae a e '=+--， 当0a =时，()210x f x e '=--<，

∴当x R ∈，()f x 单调递减，

当0a >时，11()(21)(1)2()()2x x x x f x e ae a e e a

'=+-=+-， 令()0f x '=，解得：x lna =-，

当()0f x '>，解得：x lna >-，

当()0f x '<，解得：x lna <-，

(,)x lna ∴∈-∞-时，()f x 单调递减，(,)x lna ∈-+∞单调递增；

当0a <时，11()2()()02x x f x a e e a

'=+-<，恒成立， ∴当x R ∈，()f x 单调递减，

综上可知：当0a 时，()f x 在R 单调减函数，

当0a >时，()f x 在(,)lna -∞-是减函数，在(,)lna -+∞是增函数；

（2）①若0a 时，由（1）可知：()f x 最多有一个零点，

②当0a >时，由（1）可知：当x lna =-时，()f x 取得最小值，11()()1min f x f lna ln a a =-=-

-， 当1a =，时，()0f lna -=，故()f x 只有一个零点，

当(1,)a ∈+∞时，由1110ln a a

-->，即()0f lna ->，

6 故()f x 没有零点，

当(0,1)a ∈时，1

1

10ln a a --<，()0f lna -<，

由422(2)(2)2220f ae a e e ----=+-+>-+>， 故()f x 在(,)lna -∞-有一个零点，

假设存在正整数0n ，满足03

(1)

n ln a >-，则00000000()(2)20n n n

n f n e ae a n e n n =+-->->->， 由3

(1)ln lna a ->-，

因此在(,)lna -+∞有一个零点．

a ∴的取值范围(0,1)．

（1）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论；

【解答】解：（1）函数1(1)

()ln x f x x ++=

22111

()[1(1)][(1)]11x f x ln x ln x x x x x ∴'=--+=-++++． 由0x >，20x >，1

01x >+，(1)0ln x +>，得()0f x '<．

因此函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数． （2）解法一：当0x >时，()1k

f x x >+恒成立，令1x =有2[12]k ln <+．

又k 为正整数．则k 的最大值不大于3．

7 下面证明当3k =时，()(0)1k f x x x >>+恒成立． 即证明0x >时(1)(1)120x ln x x +++->恒成立． 令()(1)(1)12g x x ln x x =+++-， 则()(1)1g x ln x '=+-．

当1x e >-时，()0g x '>；当01x e <<-时，()0g x '<． ∴当1x e =-时，()g x 取得最小值(1)30g e e -=->． ∴当0x >时，(1)(1)120x ln x x +++->恒成立． 因此正整数k 的最大值为3． 解法二：当0x >时，()1k f x x >+恒成立． 即(1)[1(1) …… 此处隐藏：3221字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……