线性代数总复习PPT 很全!

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一、行列式 要求：会用其性质与展开定理， 要求：会用其性质与展开定理， 计算低阶及特殊的行列式。 计算低阶及特殊的行列式。

两个重要概念： 两个重要概念： 余子式, 余子式 代数余子式

Aij = ( 1)

i+ j

Mij

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上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积 三角行列式的值= 是计算行列式的中心环节， 性质 是计算行列式的中心环节， 利用性质将行列式化为三角形行列式， 利用性质将行列式化为三角形行列式， 化为三角形行列式 然后计算是计算行列式的重要方法。 然后计算是计算行列式的重要方法。

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展开定理及其应用

设 A = aij

( )

, Aij n×n

, 是 aij 的代数余子式则

A 当i = j = 0 ,当i ≠ j A 当i = j = 0 ,当i ≠ j

ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 +L+ ain Aj 2

a1i A j + a2i A2 j +L+ ani Anj 1

利用展开定理， 利用展开定理，高阶行列式计算可以转化为低 一阶行列式的计算。 一阶行列式的计算。

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特殊关系式

1)

2)

n

, 是数， 设 A, B 是 n 阶方阵 k 是数，则

kA = k A,

A

1

A = ( 1) A

n

1 , = A

A = A

*

n 1

,

3)

AB = BA,

A 0 = AB C B

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例题

计算下列行列式

解

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例题 设α 1 ,α 2 , α 3 ,α 4 , β 1 ,β 2 均为4维列向量 且 四阶 行列 式 α 1 α 2 α 3 则 α 3 α 2 α1

β 1 =m , α 1 α 2 α 3

β 2 =n

β 1 +β 2 =?

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例题

解方程

此为范德蒙行列式

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二、矩阵 一、矩阵运算中注意的几点

Am×s Bs×n = Cm×n = (cij )m×n

(1) AB ≠ BA 交换律不成立 (2) AB = 0 不能推出 A = 0 或B = 0 (3) AB = BC 不能推出 B = C 消去律不成立 转置矩阵的运算律

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特殊矩阵： 特殊矩阵： 若 AT = A 若 AT = A 若

A T A=E

A 为n阶对称矩阵 A 为n阶反对称矩阵

正交矩阵 A T =A -1

正定矩阵

阶梯阵A与行最简阶梯阵 阶梯阵 与行最简阶梯阵B 与行最简阶梯阵

1 2 0 0 A= 0 0 0 0

3 1 5 3 4 7 0 6 1 0 0 0

1 2 0 0 B= 0 0 0 0

0 0 5 1 0 3 0 1 2 0 0 0

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可逆矩阵 阶方阵A可逆的充要条件 n 阶方阵 可逆的充要条件 n阶方阵A可逆 A ≠ 0 A→ E 阶方阵 可逆 →

存在方阵 ，使AB = E, 或BA = E 秩( An×n ) = n B

)向量组线性无关。 A的行(列向量组线性无关。

A 齐次线性方程组 n×n X = 0仅有零解 A的特征值全部 0 ≠

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可逆矩阵的性质 都是n 是非零数， 设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则 都是 阶可逆矩阵， 是非零数

1) 3)

( AB) 1

(A )

1 1

= A, = B 1 A 1

2) 4)

(kA)

1

(A )

T 1

1 1 = A k 1 T = A

(

)

求方阵A的逆矩阵的方法 5、求方阵 的逆矩阵的方法

1 1)如果 A ≠ 0, 则A可逆, 且A = A* A 2)如果存在方阵 , 使 AB = E, 或 BA = E, 则 B A可逆，且 A 1 = B 可逆，

1

行变换 3)如果( AM E)

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