大学物理常用高数基础知识

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补高等数学： 矢量(向量)代数 (同济大学《高等数学》第五版 第7章第一、二节) 一、矢量(向量)的概念及其表示 1.标量与矢量(向量)

算术量(质量、时间间隔、动能……)标量 代数量：有大小和正负(温度、时刻、电流、 功、势能…… ) 矢量： 既有大小又有方向(力、速度、加速度、 力矩、动量…… )

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2.矢量的表示 长度是矢量的大小 AB (1)图示：有(方)向线段： 箭头方向是矢量的方向B A

( 1)

(2)符号：粗(黑)体或加箭头：a,b或 a, b

(3)

(4)

(5)

(3)矢量的平行：a // b(箭头指向可相同或相反) (4)矢量的相等： a b ——大小、方向(含指向)都相同所以，一般情况下，矢量可以任意平行移动，也称自由矢量。

(5)负矢量：-a(与a大小相同、方向(指向)相反)

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3.矢量的模： a 或a 恒为正

r0 ,仅用来表示方向。 4.单位矢量： 所以： r r r0注：空间直角坐标系X、Y、Z轴的 单位矢量分别为 i , j , k

r0

r

k i

j

5.矢量的坐标分解式(分量式) 矢径(向径：从原点出发的矢量) r xi y j zk 一般地： 所以，矢径或其末端的点P都可以 a ax i a y j az k 用三个坐标(x,y,z)来表示. 其中，ax、ay、az或x、y、z分别称为矢量在X、Y、Z轴 上的分量或投影。而 ax i , a y j , az k 则称分矢量(分向量) 注意：分量是代数量(可正可负)!

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由 r xi y j zk 或 P(x,y,z)可知： r 若P点(或矢径 )在YOZ平面上，则 x=0; 若P点(或矢径 r )在ZOX平面上，则 y=0; 若P点(或矢径 r )在XOY平面上，则 z=0。 若P点(或矢径 r )在 x 轴上，则 y=z=0; r 若P点(或矢径 )在 y 轴上，则 x=z=0; 若P点(或矢径 r )在 z 轴上，则 x=y=0。

若P点为原点，则x=y=z=0

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6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向 r r x2 y2 z2 大小：矢径的大小： 一般地： a a 2 ax a 2 y

a z2

方向：方向角 、 、 或方向余弦：ax cos aay cos a

az cos a

7.已知矢量的模和方向角(或方向 余弦)求矢量的分量

ax a cos , ay a cos , az a cos 注意：因为方向角可以是锐角或钝角，因此方向余弦 可正可负，所以矢量的分量也可正可负，是代数量。

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二、矢量的加减法1.矢量相加的平行四边形法则(见图7-3) 2.矢量相加的三角形法则(见图7-2)

3.多个矢量相加的多边形法则(见图7-5)4.矢量的加法所满足的运算规律 (1)交换律：a b b a

(2)结合律： a b c a b c 5.矢量的减法 因为：c b a b a c 由矢量相加的三角形法则可得：

b a c

即：从同一点出发作减矢量和被减矢量，则从减矢量 的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。

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6.矢量加减的坐标表示式

b bx i by j bz k

a ax i a y j az k

a b ax bx i a y by j az bz k

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三、矢量与数量的乘法 a 1.定义：

a方向与a 相同 ) 方向 当λ >0时(可视为 a 当λ <0时(可视为 ) 方向与 a 相反 2. 满足的运算规律(1)与另一个数量相乘的结合律： a a a (2)分配律： a a a a b a b

a a 模(大小):

3.矢量与数量相乘的坐标表示式 a a x i a y j a z k a x i a y j a z k

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四、两矢量的标量积(标积、数量积、点积、点乘)1.定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功： A Fs cos F s cos F , s f s

θ

一般地：a b a b cos a, b a Pr jab b Pr jb a

2.两个推论： 注意；“点”不能掉！ 2 a a a a cos 0 a ( 1) (2)若两非零矢量 a b ,则 a b 0 cos 0

i i 1 j j k k

i j 0 j k k i

反之，若 a b 0,则必有 a b

2

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3.标量积满足的运算规律 (1)交换律： a b b a a b cos a, b

(2)分配律： a b c a c b c

(3)满足一定条件下的结合律(略) 4.标量积的坐标(分量)表示式

a b a x i a y j a z k bx i by j bz k a xbx i i a xby i j a xbz i k a y bx j i a y by j j a y bz j k a z bx k i a z by k j a z bz k k a xbx a y by a z bz

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五、两矢量的矢量积(矢积、向量积、叉积、叉乘) 1.定义：如力矩：大小： M Fd Fr sin F 力矩是矢量，方向沿转轴， r 指向按 r F 的

顺序，用 d 右(手)螺旋法则确定。 大小：M r F sin r , F 抽象出矢量积： M r F 方向见上 大小：c a b sin a , b 一般地： c a b 方向：垂直于 a 和b 所决定的平面，

指向按 a b 的顺序，用右

注意；“×”不能掉！

(手)螺旋法则确定。

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2.两个推论： sin 0 0 (1)a a 0 (2)若两个非零矢量 a // b ,则：

反之，若 a a 0 ,则必有： a // b (1)不满足交换律，而是： b a a b (2)满足分配律： a b c a c b c3.满足或不满足的运算规律

a a 0 sin 0或 sin 0

(3)满足如下的结合律： a b a b a b

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4.矢量积的坐标(分量)表示法和行列式表示法 a b a x i a y j a z k bx i by j bz k 0 a x by k a x bz j a y bx k 0 a y bz i a z bx j a z by i 0 a y bz a z by i a z bx a x bz j a x by a y bx k

i j ay by k az bz

或

a b ax bx

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5.矢量积(大小)的几何意义

以 a 、b 为邻边的平行四边形的面积。 b

a

作业：﹡阅读《高等数学》P289—307 ﹡整理笔记或小结(点乘、叉乘对照)

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