2010届高三数学一轮复习必备精品：函数的图像及数字特征

2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料

第5讲 函数图象及数字特征

一．【课标要求】

1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；

2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；

3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；

4．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y x,y x,y x,y x,y x的图像，了解它们的变化情况。

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二．【命题走向】

函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地

从历年高考形势来看：

（1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题；

（2）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察；

（3）与幂函数有关的问题主要以y x,y x,y x,y x,y x为主，利用它们的图象及性质解决实际问题；

预测2010年高考函数图象：（1）题型为1到2个填空选择题；（2）题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题；

函数综合问题：（1）题型为1个大题；（2）题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的工具作用；

幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性质来解决；

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三．【要点精讲】

1．函数图象

（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。

作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点

（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；

①平移变换：

Ⅰ、水平平移：函数y f(x a)的图像可以把函数y f(x)的图像沿x轴方向向左

(a 0)或向右(a 0)平移|a|个单位即可得到；

1）y=f(x) y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x h)；

Ⅱ、竖直平移：函数y f(x) a的图像可以把函数y f(x)的图像沿x轴方向向上

左移h

右移h

(a 0)或向下(a 0)平移|a|个单位即可得到；

1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x) h

上移h下移h

②对称变换：

Ⅰ、函数y f( x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于y轴对称即可得到；

y轴

y=f(x) y=f( x)

Ⅱ、函数y f(x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于x轴对称即可得到；

y=f(x) y= f(x)

Ⅲ、函数y f( x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于原点对称即可得到；

y=f(x) y= f( x)

Ⅳ、函数x f(y)的图像可以将函数y f(x)的图像关于直线y x对称得到。

直线y x原点x轴

y=f(x)

x=f(y)

Ⅴ、函数y f(2a x)的图像可以将函数y f(x)的图像关于直线x a对称即可得到；

直线x a

y=f(x)

y=f(2a x)。

③翻折变换：

Ⅰ、函数y |f(x)|的图像可以将函数y f(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y f(x)的x轴上方部分即可得到；

Ⅱ、函数y f(|x|)的图像可以将函数y f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y f(x)在y轴右边部分即可得到

④伸缩变换：

Ⅰ、函数y af(x)(a 0)的图像可以将函数y f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a 1)或压缩（0 a 1）为原来的a倍得到；

y=f(x) y=af(x)

Ⅱ、函数y f(ax)(a 0)的图像可以将函数y f(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(a 1)或压缩（0 a 1）为原来的

y a

1

倍得到。 a

x a

f(x)y=f(x) y=f(ax)

（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面 2．幂函数

y x ( 0,1)在第一象限的图象，可分为如图中的三类：

图

在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数y x中

限于在集合 2， 1， ，，，1，2，3 中取值

幂函数有如下性质：

⑴它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交； ⑵定义域为R或（ ，0） （0， ）的幂函数都具有奇偶性，定义域为

121312

R 或 0， 的幂函数都不具有奇偶性；

⑶幂函数y x ( 0)都是无界函数；在第一象限中，当 0时为减函数，当 0

时为增函数；

⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；

四．【典例解析】

题型1：作图 例1．（08江苏理14）

设函数f(x) ax3 3x 1(x R)，若对于任意的x 1,1 都有f(x) 0成立，则实数a的值为 ▲

【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论a取何值，f x ≥0显然成立；当x＞0 即x 1,1 时，f x ax3 3x 1≥0可化为，a 设g x

31

3 2xx

3 1 2x 31 1 '

gx ，则， 所以 在区间0, 上单调递增，在区间gx 234xxx 2

1 1

上单调递减，因此,1gx g 4，从而a≥4； max 2 2

当x＜0 即 1,0 时，f x ax 3x 1≥0可化为a

3

3 1 2x 31'

0 ，g x

x2x3x4

g x 在区间 1,0 上单调递增，因此g x man g 1 4，从而a≤4，综上a＝4

【答案】4

点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；

例2．（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图2所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是

（ ）

A. 在t1时刻，甲车在乙车前面

B. t1时刻后，甲车在乙车后面 C. 在t0时刻，两车的位置相同 D. t0时刻后，乙车在甲车前面 答案

A

解析 由图像可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0

～t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，选A.

ex e x

（2）. (2009山东卷 …… 此处隐藏：8480字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……