【北师大版】高中数学必修3第三章：3.3模拟方法-概率的应用 教学

【北师大版】高中数学必修三

模拟方法-概率的应用教学设计

一、教学目标

1．了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义；

2．使学生能够运用模拟方法估计概率．

二、设计思路与教学建议

1．教科书首先回顾：可以通过大量重复试验，用随机事件发生的频率来估计其概率，但人工进行试验费时、费力，并且有时很难实现．由此说明用模拟方法来估计某些随机事件发生的概率的必要性．教师可让学生回忆在第一节中所用的一些模拟方法．2．教科书通过举例说明了模拟方法估计概率在实际中的一个应用：可以求出某些不规则图形的近似面积．

图1

求图1中区域A的近似面积通常有两种方法．

一种方法是几何的方法，比如可以通过几何作图将图中的正方形分成10×10个全等的小正方形，数出区域A中的小正方形的个数（边界处的小正方形如果有不少于一半的部分在区域A中，则认为这个小正方形在区域A中，否则不在区域A中），得出区域A的面积与正方形的面积之比，进而求出区域A的近似面积．要得到更好的估计值，可以把正方形分得更小，比如可以把正方形分成100×100个全等的小正方形，1 000×1 000个全等的小正方形等等．这种方法比较粗略，并且操作起来很麻烦.

另一种方法就是概率的方法，向图1的正方形中随机地撒一粒芝麻，这个试验具有以下特点：（1）正方形有有限的度量即面积，一次试验是向正方形内随机投一点，试验的所有可能结果就是正方形内的所有点，因此有无限个．

（2）正方形内任何一点被投到的可能性是相同的．所投的点落在正方形中某个区域A 内的可能性与A的面积成正比，而与A在正方形中的位置、形状无关．

这类随机试验的数学模型我们称为几何概型(几何概型的相关内容见备用课程资源)．在上述几何概型中，

P(芝麻落在A内)=区域A的面积/正方形的面积.

我们可以大量重复进行向正方形中随机撒一粒芝麻的试验，撒一把芝麻，数出落在A

内的芝麻数和落在正方形内的芝麻数，用落在A内的芝麻的频率来估计P(芝麻落在A内)，从而求出区域A的面积的近似值．

教科书中没有介绍几何概型，而是通过向图2的正方形和图3的长方形中随机地撒芝麻的试验，说明近似地有

落在区域A内的芝麻数落在正方形内的芝麻数＝区域A的面积正方形的面积,

再由这个式子就可求得区域A的近似面积．

图2 图3 教科书在讲解时分3步进行，以帮助学生理解．

第一步是向图2的正方形中撒芝麻，区域A是一个面积为大正方形的14的小正方形，由于每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性都是相同的，学生容易得出大约有14的芝麻落在区域A中，因此近似的有

落在区域A内的芝麻数/落在正方形内的芝麻数＝区域A的面积/正方形的面积.

第二步是反过来，向图3的长方形中随机地撒芝麻，利用落在区域B中的芝麻数占整个长方形中的芝麻数的20%，得出区域B的面积近似地是整个长方形的面积的20%，这里区域域B是学生熟悉的长方形．

第三步就是利用第二步的思想，来求不规则图形的近似面积?闭庋?设计易于学生接受，教师在讲课时也可按这三步进行．教学中可以根据学生的情况简单介绍一下几何概型．

本章的章头图中的“投针问题”就是一个非常有名的几何概型，它是由法国数学家蒲丰提出的．在平面上画有一些平行直线,每两条相邻的平行直线之间的距离都为a,向此平面上任投一长度为b(b<a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa.大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容.可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编.北京:高等教育出版社.1990).<a)的针,利用几何概型的概率计算公式,可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bπa,大量重复向平面内投针的试验,投大量的针,数出所投的针数和与平行线相交的针数,用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率,就可求出π的近似值.如果所投针数为n,与平行线相交的针数为m,由2bπa≈mn,可得π≈2bnam.关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》(严士健,刘秀芳,徐承彝编,北京:高等教育出版社,1990).

<a）的针，利用几何概型的概率计算公式，可以求得针与任一平行直线相交的概率为2bΠa．大量重复向平面内投针的试验，投大量的针，数出所投的针数和与平行线相交的针数，用针与平行线相交的频率去估计针与平行线相交的概率，就可求出Π的近似值．如果所投针数为n，与平行线相交的针数为m，由2bΠa≈mn，可得Π≈2bnam．关于“投针问题”的详细内容，可参考《概率论与数理统计》。

【阅读理解】 P182

就我国现在的情况，很多地方还没有普及计算机（甚至还没有普及计算器）.为体现出学习背景的公平性，教科书在用随机数进行模拟时仅要求用随机数表产生随机数，计算机（计算器）产生随机数作为了解．但随着信息技术的发展，信息技术与课程内容结合是必然的趋势，因此,在教参前面的内容里，我们介绍了如何利用计算器产生随机数;在教科书的这一节，我们在阅读理解栏目里介绍了利用计算机模拟来估计不规则区域A的面积，这种计算方法称为蒙特卡洛（Monte―Carlo）方法.具体的模拟过程见备用课程资源．

利用计算机完成1 000次模拟，教科书中的表格给出了部分数据．根据模拟结果，区域A的面积约为0.667，其理论值为23，二者非常地接近．教师可通过介绍，让学生了解计算机模拟的优越性．

【问题提出】 P183

让学生通过自己的分析来判断随机事件发生的可能性的大小．

对第（1）问，教师可以先让学生思考，作出自己的判断，再与同学交流各自的看法，并说明理由．

【动手实践】 P183

让学生用转盘来进行模拟，对“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率作出估计．

教师应先准备好教科书上所示的转盘，两人一组，一人转动转盘，另一人记录结果，做完50次模拟后一组内两人再交换.记录前可先画出如下表格：

晚报晚餐

1次

2次

………

50次

图4

每个班级模拟的结果可能是不一样的，理论上可以算得“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为7/8，即0.875．

在平面上建立如图所示直角坐标系，图中直线x=6，x=7，y=5.5, y=6.5围成一个正方形区域G．设晚餐在x（6≤x≤7）时开始，晚报在y（5.5≤y≤6.5）时被送到，这个结果与平面上的点（x,y）对应．于是试验的所有可能结果就与G中的所有点一一对应．由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此,试验属于几何概型．晚报在晚餐开始之前被送到，当且仅当y<x，因此图4的阴影区域g就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”．容易求得g的面积为7 8，g的面积为1，由几何概型的概率计算公式，“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为g的面积/G的面积=7/8.

【思考交流】 P183

教师可先让学生思考，作出自己的判断并说明理由．

若晚报在下午5：45～6：45之间的任何一个时间随机地被送到，则晚报在5：45～6：00之间送到，或晚餐在6：45～7：00之间开始，都使得晚报的送达在晚餐开始之前，但相对于上面的问题来说，这个时间段变短了，因此“晚报在晚餐开始之前被送到 …… 此处隐藏：6547字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……