理论力学13—动能定理

例2 均质细杆长为l,质量为m,上端B靠在光滑的墙上，下 端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相 连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v,杆与水平线的 夹角θ=45o ,求该瞬时系统的动能。 B I 解： T总 = TA + TAB C

3 TA = Mv 2 4I 为AB杆的瞬心

v A

θ

v = ωΑΒ IA1 l 1 I I = ml 2 + m = ml 2 12 2 32

ωΑΒ =

v l sin θ

TAB

1 mv 2 1 1 2 = I I ω AB = = mv 2 T总 = ( 9M + 4m ) v 2 2 2 6 sin θ 3 12

例6 一长为l,质量密度为ρ的链条放置在光滑的水平桌 面上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在 自重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。 解:链条在初始及终了两状态的动能分 别为 T1 = 0 1 2 T2 = ρlv2 2 在运动过程中所有的力所作的功为

l b

b

1 1 2 2 由 W12 = ρgb(l b) + ρg (l b) (l b) = ρg (l b ) 2 2

T2 T1 = ∑ W12

解得

v2 =

g (l 2 b 2 ) l

例7 已知： m ,R, f , 。求纯滚动时盘心的加速度。 解：取系统为研究对象，假设圆盘 中心向下产生位移 s时速度达到vc。 T1 = 0C

ωvC

sF

T2 =

3 2 mv C 4

mg FN

力的功：

W12 = mgs sin 3 2 mv C 0 = mgs sin 42 g sin 3

由动能定理得： 解得：

a=

例17 均质细杆长为l,质量为m,静止直立于光滑水平面上。当杆受 微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。 解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直 下落。杆运动到任一位置 (与水平方向夹角为 θ )时的角速度为

ω=T=

vC 2vC = CP l cos θωvC

此时杆的动能为

1 2 1 1 1 2 mvC + J Cω 2 = m(1 + )vC 2 2 2 2 3 cos θ

P vA A

C

初动能为零，此过程只有重力作功，由

T2 T1 = ∑ W121 1 l 2 m(1 + )vC = mg (1 sin θ ) 2 3 cos 2 θ 2 1 3g 当 θ=0°时解出 vC = 3 gl ω= 2 l

θ

杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示，由 刚体平面运动微分方程，得

aC A FA C mg

α

mg FA = maC

(1)

l 1 FA = J C ε = ml 2ε 2 12

(2)n a A A aCA C t aCA

杆 作平面 运动，以 A为基点，则 C点的加 速度为t n aC = a A + aCA + aCA

aC

α ω

沿铅垂方向投影，得

l t aC = aCA = α 2联立求解方程(1)~(3),得

(3)

FA =

1 mg 4