1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0; 公 式 2 .若 f ( x ) x , 则 f '( x ) n xn n 1

;

公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ; 公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ; 公 式 5 .若 f ( x ) a , 则 f '( x ) a ln a ( a 0 );x x

公 式 6 .若 f ( x ) e , 则 f '( x ) e ;x x

公 式 7 .若 f ( x ) lo g a x , 则 f '( x ) 公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 x ;

1 x ln a

( a 0 , 且 a 1);

公式一: C = 0 (C为常数)

公式二: ( x ) x

1

( 是常数)

算一算：求下列函数的导数 (1)4 y=x

;

(2)

-5 y=x

;

4x3(3) y x ;

-6 -5x

(4) y

12

;

1 2

x

1 2

x -2x-3

注意公式中,n的任意性.

公式三:

(sin x) cos x

公式四:

(cos x) sin x

公式五:对数函数的导数

(1) (log a x)

1

(a 0, a 1).

(2)

x ln a 1 (ln x) . x

公式六:指数函数的导数

(1)

(a ) a ln a(a 0, a 1).x x

(2)

(e ) e .x x

公式1

公式2 x x ( 为常数) ' 公式3 (sin x) cos x. 记 ' 公式4 (cos x ) sin x .

C 0(C为常数) 1

公式5 (a ) a ln ax ' x

一 记

公式6 (e ) ex 'x '

x

公式7 (1oga ) x ln a 1 ' 公式8 (1nx ) x

1

练一练： (1)下列各式正确的是( C )A .(sin )' cos ( 为常数) B( cos x )' sin x . C .(sin x )' cos x D .( x 5

)'

1 5

x

6

(2)下列各式正确的是( D ) 1 x A .(log a )' xB .(logx x a

)'

ln 10 xx

C .( 3 )' 3 x D .( 3 )' 3 ln 3x

0 (3) f(x)=80,则f '(x)=______;( 3 ) f ( x ) e , 则 f ( x ) 等于 ______; ex '

x

e f ( 1 ) 等于 ______'

1

( 4)

x ln a (1oga ) ________x '

p ( t ) p 0 (1 5 %)

t

解:根据基本初等函数导数公式表,有p ( t ) 1 . 05 ln 1 . 05t

所以

(10 ) 1 . 05 10 ln 1 . 05 0 . 08 ( 元 / 年 ) p

因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.

法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);应用1: 求下列函数的导数 3+sinx (1)y=xy ' 3x cos x2

(2)y=x4-x2-x+3.

y' 4 x 2 x 13

法则2:

f ( x) g ( x)

'

f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)' '

应用2:求下列函数的导数y ' (2 x 3)(3x 2)' (2 x 3)' (3x 2)2

(1)y=(2x2+3)(3x-2) 22

18 x 8 x 95

(2)y=(1+x6)(2+sinx)y' 6 x (2 sin x) (1 x ) cos x6

法则3:

f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 2 g ( x) g ( x)

应用3:求下列函数的导数 (1)y=tanx 2 2y' ( sin x )' cos x sin x cos x22

1 cos x2

cos x

(2) y

x 32

x

3

y'

x 6x 3 ( x 3)2 2