含参数的一元二次不等式的解法

2015年12月10日星期 四

解题回顾

解不等式： x 5x 62

解：原不等式可变形为：x 5x 6 02

方程x 5x 6 0的两个根为：2

x1=2,x2=3∴ 不等式的解集为{x│ x <2或x>3}.

解题回顾二次函数、一元二次方程、一元二次不 等式是一个有机的整体。通过函数把方程 与不等式联系起来，我们可以通过对方程 的研究利用函数来解一元二次不等式。 请问:三者之间有何关系 方程的解即对应函数图象与x轴交点的横 坐标;不等式的解集即对应函数图象在x轴下方 或上方图象所对应x的范围,且解集的端点值为 对应方程的根。

解题回顾我们可以把任何一个一元二次不等 式转化为下列四种形式中的一种：

(1)ax bx c 0(a 0)2

(2)ax bx c 0(a 0)2

(3)ax bx c 0(a 0)2

(4)ax bx c 0(a 0)2

解题回顾解一元二次不等式的基本步骤：“三步曲”(1)转化为不等式的“标准”形式；

(2)计算△,解相应一元二次方程的根；(3)根据二次函数的图象以及不等号的方向，写出不 等式的解集.

分类汇总判别式 =b2-4ac

一元二次不等式的解法(a>0) >0y

0yx

<0yb 2a

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 ax2+bx+c>0的解集 ax2+bx+c<0的解集 ax2+bx+c ≥ 0的解集 ax2+bx+c ≤ 0的解集

x1

x2 x

x1 x2

x没有实根

有两个相异的实根 有两个相等实根 x1,x2. (设x1<x2 ) x1=x2 {x|x>x2或x<x1} {x|x1<x<x2}

b {x|x≠ } 2a R

R R

x x x 或x x 2 1

x x

1

x x2

b {x|x= } 2a

含参数的不等式的解法

对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不 同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要 产生一个划分参数的标准。 一元一次不等式ax+b>0(<0)参数划分标准： 一次项系数a>0,a=0,a<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准： (1)二次项系数a>0,a=0,a<0 (2)判别式△>0,△=0,△<0 (3)一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小， x1>x2 ,x1=x2,x1<x2

例题讲解2 例1 解关于 x 的不等式 ax 5ax 6a 0 a 0

分析: 因为 a 0 且 0 ,所以我们只要讨论二次项系 数的正负. 解: a( x2 5x 6) a x 2 x 3 0∴(1)当 a 0 时，原不等式变形为: x 2 x 3 0 ∴当 a 0 时，原不等式解集为: x | x 2或x 3 ∴(2)当 a 0 时，原不等式变形为: ∴当 a 0 时，原不等式解集为:

x 2 x 3 0 x | 2 x 3

综上所述： a 0时，原不等式解集为： x | x 2或x 3 a 0时，原不等式解集为： x | 2 x 3

例题讲解

例2.解关于x的不等式：x 5

ax 6a 0 (a 0)2 22 2 此不等式 5 a 24 a a 0 分析 : 2

又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0

故只需比较两根2a与3a的大小.

x 2a ( x 3a) 0 解: 原不等式可化为：相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a (2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a

综上所述： a 0时，原不等式解集为： x | x 2a或x 3a a 0时，原不等式解集为： x | x 3a或x 2a

例题讲解例3:解关于2

x 的不等式: 2x

2

kx k 0

分析:由于 x 的系数大于0,对应方程的根只需考虑△的符号. 解： k 2 8k(1)当 (2)当

原不等式解集为 k 2 8k 0 即 8 k 0 时，k 2 8k 0 时得 k 0 或 k 8

2 ∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2 x 0

解集为： x x 0 解集为： x x 2

2 2 x 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为2 k 8k 0 即 k 0 或 k 8 时, (3)当

原不等式解集为

k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4

综上所述， (1)当 k 8 时,不等式解集为 k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4 (2)当 k 8 时,不等式解集为 x x 2

(3)当 8 k 0 时,不等式解集为

(4)当 k 0 时,不等式解集为 x x 0 (5)当 k 0 时,不等式解集为 k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4

例题讲解例4:解关于

x 的不等式： ax

2

(a 1) x 1 0.

{x | x 1}. 解: (一)当 a 0 时, 原不等式即为 x 1 0 解集为： (二)当 a 0 时, 原不等式变形为： (ax 1)(x 1) 0 1 其解的情况应由对应的两根 与1的大小关系决定，故有： a 1 (1)当 a 0 时，原不等式的解集为：{x | x 或x 1} a (2)当 a 0 时，有：(a)当 (b ) 当 (c ) 当1 1 即 a 1时，原不等式的解集为： a 1 1即 a 1 时，原不等式的解集为： a1 1 a

{x |

1 x 1} a

即

1 { x |1 x } 0 a 1 时，原不等式的解集为： a

综上所述， (1)当 a 0 时，原不等式的解集为 (2)当 a 0 时，原不等式的解集为 1 x x 或 x 1 a

x x 1 1 x 1 x a

(3)当 0 a 1 时，原不等式的解集为 (4)当 a 1 时，原不等式的解集为 (5)当 a 1 时，原不等式的解集为

1 x 1 x a

例题讲解

例 5: 解不等式2

x ax 4 02

解：∵ a 16 ∴ 当a

4,4 即 0时,

原不等式解集为

R

a 当a 4即 0时, 原不等式解集为 x x R且x 2 当a 4或a 4即 0时， 此时两根分别为 ；,

a a 16 x1 2 显然 x1 x 22

;

,

a a 2 16 x2 2

a a 2 16 a a 2 16 ∴原不等式的解集为： x x 或x〈 2 2

练习1 1、若0 a 1, 则不等式(x a) ( x ) 0的解是(A ) a

1 A.a<x< a 1 B. <x<a a

1 C.x> 或x<a a 1 D.x< 或x>a a

2、当a<0时，不等式 42x2 ax a2 0 的解集为(A ) a a A. 7 , 6 a 2a C. , 7 7

B.

a a , 6 7

D.

练习已知：a R, 二次函数f ( x) ax 2 2 x 2a,设不等式f ( x) 0的解集为A, 又知集合B {x 1 x 3},若A B , 求a的取值范围。

解：f ( x) 0,即ax 2x 2a 0,22 1 2 a 1 2 方程ax 2 x 2a 0的两个根为：x= , a

1 2a 2 1 1 2a 2 1 a 0时，A= x | x 或x , a a

又B {x 1 x 3},A B ,1 2a 2 1 3 a

6 解得：a ( , ) 7