统计学第二次作业

统计学第二次作业（2012年4月27日）

第五章 置信区间

5-28、2003年，在一项对高校扩招的态度调查中，10所北京市院校对高校扩招的态度数据如下表（分数越高态度越

积极）：

求：1) 中国人民公安大学、清华大学、北京大学的总体平均态度分的95％置信区间； 2) 中国人民公安大学和北京大学的总体平均态度分之差的95％置信区间； 3) 清华大学和北京大学的总体平均态度分之差的95％置信区间。 (提示：要先从S 求得 )

解：（1）因为表中样本数都大于30，所以认为样本均值的抽样分布服从正态分布。x ~N （u ，n

Ò2

），用s 近似代替σ，根据样本数据的样本均值和标准差：置信水平1-α=95%，查标准

正态分布表2/z a =1.96

中国人民公安大学总体态度分的95％置信区间为（x1-2/z a *

1

1n s , x1+2/z a *

1

1n s ），将表中

数据代入（4.32-1.96*

50

5.50，4.32+1.96*

50

5.50）=（4.17，4.47）

清华大学总体态度分的95％置信区间为（x2-2/z a * 2

2n s , x2+2/z a *

2

2n s ），同理计算求得

（3.58，3.98）。

北京大学总体态度分的95％置信区间为（x3-2/z a * 3

3n s , x2+2/z a *

3

3n s ），同理计算求得

（3.40，3.76）。

（2）两个样本都为大样本，所以根据抽样分布的知识可知，两样本均值之差（1x -2x ）的

抽样分布服从（u1- u2）、方差为（

1

2

1Òn +

2

2

2Òn ）的正态分布。中国人民公安大学和北京大

学的总体平均态度分之差的95％置信区间为{（1x -2x ）-2/z a *)ÒÒ(

1

2

21

2

1n n +

，（1x -2x ）

+2/z a *)ÒÒ(

1

2

21

2

1n n +

}。用样本方差代替总体方差。所以求得两者总体均值方差的置信区

间（0.51，0.97）。

（3）同（2），可以求得清华大学和北京大学的总体平均态度分之差的95％置信区间为（-0.066,0.466）。

第六章 假设检验

6-6、从死于汽车碰撞事故的司机中抽取2000名司机的随机样本，根据他们的血液中是否含有酒精以及他们是否对

事故负有责任，将数据整理如下表所示。

在整个总体中，血液中含有酒精和不含酒精的司机之间在对事故负有责任方面有差异吗？为了回答这一问

题：

1) 叙述并计算概值；

2) 计算适当的置信区间(95％)来说明差异有多大；

3) 从这一数据如何说明“酒精增加了事故的发生率”。

解：设1p 为含酒精中有责任的概率，

2p 无酒精中有责任的概率。

提出假设0H ：血液中含酒精和不含酒精的司机之间对事故富有的责任无差异。即1p =2p 1H ：1p ≠2p 。

依据样本数据：1p =650/(650+150)=13/16 2p =700/(700+500)=7/12 构造统计量：P=1p -2p 又因为1p ~N （1p ，1

11

n )p 1p -（），2p ~N （2p ，2

22

n )p 1p -（）

所以1p -2p ~ N （1p -2p ，

1

11

n )p 1p -（+

2

22

n )p 1p -（） 记1

11

n )p 1p -（+

2

22

n )p 1p -（为2s

1p -2p 的95%的置信区间为（1p -2p -2/z a *s ，1p -2p +2/z a *s ）=（0.19，0.27）

。不包括0 ，所以拒绝零假设。可见含酒精的对事故负责任的概率远大于不含酒精的。即酒精增加了事故的而发生率。

6-9、1974年，美国盖洛普公司的一次调查表明，在750名美国男子的样本中，有45％抽烟；在另一个相互独立的750名女子的样本中，36％抽烟，

1) 构造男性总体和女性总体中抽烟比例之差的95％单侧置信区间； 2) 计算没有差异这一原假设的概值；

3) 在错误水平 =0．05下，45％与36％之差在统计上是可以分辨的吗?(或是显著的吗？)即，能拒绝吗？用两种方式回答，并说明两种答案是一致的：

1) 是否没有落入95％的置信区间之内？ 2) 对的概值是否小于0.05？

解：设男性抽烟比例为1p ，女性抽烟比例为2p 。

构造统计量：P=1p -2p 又因为1p ~N （1p ，1

11

n )p 1p -（），2p ~N （2p ，2

22

n )p 1p -（）

所以1p -2p ~ N （1p -2p ，1

11

n )p 1p -（+

2

22

n )p 1p -（）记1

11

n )p 1p -（+

2

22

n )p 1p -（为2s

P(

s

)p - p (-P 21<a z )=1-α，所以1p -2p 的95％单侧置信区间为（0，1p -2p +a z *s ）=(0，

45%-36%+1.645*0.02524)=（0，13.15%） （2）0H ： 1p =2p 在此条件下

s

P ~N(0，1)。Z=

s

P =

1.452s

36%-45%= Φ(1.452)=0.927。

所以没有差异这一原假设的概率为0.927。

(3) 在错误水平α=0．05下，45％与36％之差在统计上是不可以分辨。即不能拒绝0

H 。从

以下角度来分析：

1) 因为1p -2p =9%，落在95%的置信区间。所以不能拒绝原假设0

H 。

2)由（2）可知拒绝0H 出错的概率为0.073，大于0.05，所以不能拒绝原假设。

第七章 回归分析

7-7、假定一个4家庭的随机样本的年收入和年节余如下表所示(单位：千元):

1) 估计总体回归直线

2) 构造斜率β的95％置信区间;

3) 作图画出4个样本点和拟合的直线，然后尽你所能在图中表示由2）的置信区间所给出的可接受的斜率(范

围)。

解：(1) 方法1因为X

Y

βα+=，

X =(4.8+7.2+8.5+9.5)/4=7.5 Y =(1.2+3.0+3.5+3.5)/4=2.8 记i x =i X -X ，i y =i Y -Y

所以β?=

∑∑2x i

i

i x

y =0.513732（代入数值计算过程略）, =α?Y -β?*X = -1.052989

即估计总体回归方程为：Y=-1.052989+0.513732X.

方法2 ：直接在Eviews 中求解（OLS ）

即估计总体回归方程为：Y=-1.052989+0.513732X. 说明结果一致。 (2)

∑2i

e

=∑2

i y -2

?

β∑2i

x

=3.58-0.513732*0.513732*12.38=0.312666（与上一致）

2Ò?=

2

n 2-∑i

e

=0.156333。（n =4）

Se(β?)=

∑

2

Ò

?i

x =0.11237。

所以β的95％置信区间为（β?-2/t a * Se(β?)，β?+2/t a * Se(β?)）=（0.513732-4.3027*0.11237，0.513732+4.3027*0.11237）=（0.0304，1.0027）（自由度为2）

（3）在Eviews 中作X-Y 图如下：

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0567

89X Y

7-11、从某单位随机地抽取了相互独立的两个样本(男、女职工收入)，其月收入数据如下：

男：2300，2500，3000，2800，2600； 女：2400，2200，2000，2500，2700 用表示收入，用哑变量表示性别：其中对于男性 =1，对于女性 =0。

1) 画出对的图形；

2) 用眼睛拟合一条对的回归线；

3) 计算对的回归线；与 …… 此处隐藏：3587字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……