清华大学信号与系统知识总结

THU信号与系统考研精华总结 By紫色风铃

2009.08

愿各位研友考研成功！~~

第一章绪论时间区间瞬时功率能量f (t )2

i

连续时间信号( , )

离散时间信号( N, N )( , )

( T, T )

E

T

T

f (t ) dt

2

E lim 2

T

T T

f (t ) dt 2

f (t ) dt

2

E

n N

x ( n)

N

2

E

n

x ( n)

2

平均功率

P

1 2T

T

T

f (t ) dt

P lim

1 T 2T

T

T

f (t ) dt

2

P

N 1 2 N x (n) 2 N 1 n

P lim

N 1 2 N x (n) N 2 N 1 n

f (t ) f (t mT ) m 0, 1, 2,

x(n) x(n mn)

m 0, 1, 2,

周期信号

e j 0T e j 0 (t T0 )

T0

2

0 分解性 线性系统 零状态线性 零输入线性

线

性

若f (t ) y (t )齐次性 则af (t ) ay (t ) 若f1 (t ) y1 (t ),f 2 (t ) y2 (t ) 可加性则f (t ) f (t ) y (t ) y (t ) 1 2 1 2

y (t ) yx (t ) y f (t ) y (n) y0 (n) yn (n)

判断方法：先线性运算，后经系统的结果=先经系统，后线性运算的结果若 f (t ) y f (t ),则 f (t t0 ) y f (t t0 )时不变性若 x(n) y(n),则 x(n n0 ) y(n n0 )

系统时不变性：1电路分析：元件的参数值是否随时间而变化 2方程分析：系数是否随时间而变 3输入输出分析：输入激励信号有时移，输出响应信号也同样有时移。

一．普通信号

二、冲激信号

三.卷积

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积分特性冲激

偶卷积

u(t ) f (t ) f ( )d t

t t t n 1 u(t ) f (t ) f (t )dt dt f ( n ) (t ) (n 1)!

x(k ) x(n) u(n) k

' (t ) f (t ) f ' (t )

( n) (t ) f (t ) f ( n) (t )

四.电路元件的运算模型元件电路符号名称电阻u i关系

时

域电路符号运算模型u (t ) R i (t )

频

域电路符号

复

域

运算模型U R (t ) R I R (t )

运算模型U R ( s) R I R ( s)

u(t ) Ri(t )

电u (t )

U C ( s) 1 t i(t )dt C

1 1 IC (s) uC (0 ) Cs s

容

u (t ) 1 i (t ) pC

U C (t ) 1 I C (t ) j C

IC (s) CsUC (s) CuC (0 )

电感

d u(t ) L i(t ) dt

u (t ) pL i (t )

U C (t ) j L I C (t )

U L (s) LsI L (s) LiL (0 )

I L ( s)

1 1 U L (s) iL (0 ) Ls s

五.连续时间系统时域分析

系统 建立微分方程 建立算子方程：D(p)y(t) N(p)f(t) 系统的特征方程：

求特征根 零输入响应方程D(p)yx(t) 0

yf(t) f(t) h(t)

求冲激响应 零状态响应N(p)Nf(p)

yf(t) D(p) D(p) (t) f

D( ) D(p)

p

0

t 0 求全响应 微分方程法

系统的描述方法 传输算子法 y(t) yx(t) yf(t)

冲激响应法

六.系统的特征方程

七.系统的冲激响应和单位样值响应

八.基本离散信号

九.离散信号的性质

十.信号的分解

1直流分量与交流分量 ○2奇分量与偶分量 ○

f(t) fD f(t)

常数

1

f(t) [f(t) f( t)] eA2 f(t) fe(t) fo(t)

平均是为零 f(t) 1[f(t) f( t)]

o 2

一.周期信号的频谱分析

1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：

y(t) e

j t

简谐振荡信号

h(t) e

j (t )

h( )d e

j t

e j h( )d

傅里叶变换：H(j ) e j h( )d

点 测 法： y(t) ej t H(j ) 2.傅里叶级数和傅里叶变换

3.狄里赫勒（Dirichlet）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）

○1f(t)绝对可积，即 t

t0 T

f(t)

○2f(t)的极大值和极小值的数目应有限 ○3f(t)如有间断点，间断点的数目应有限

4.周期信号的傅里叶级数

5.波形对称性与谐波特性的关系

6.周期矩形脉冲信号

7.线性时不变系统对周期信号的响应

一般周期信号：f(t) 系统的输出 ：y(t)

n

Fe

nn

jn t

jn t

n

FH(jn t)e

二.非周期信号的傅里叶变换（备注）

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备注序号

说明内容证明： f1 (t ) 1 F1 ( )e j t d [ f 2 ( )e j d ]e j t d 2 关键 f 2 ( )[ 交换积分次序

△1

e j (t )d ]e j t d ( 0)

f( 2

) (t )d f 2 (t )1 1 2 j 2 j j

2 2 j 2 2 2 0 j

△2

求 sgn(t )解：由 e t u (t ) e t u ( t )

1 j

e t u (t ) e t u ( t )

1 j

( 0)

sgn(t ) lim[e t u (t ) e t u ( t )] lim 0

△3

证明： f (t ) f (t )

1 F ( )e j t d 2 1 F ( )e j t d 2

替换 f (t ) ,t

1 F ( )e j d 2 f ( ) F (t )e j t dt 2

△4 5△

证明：

f (t t0 ) f (t t0 )e j t dt f ( )e j ( t )d 0

(令 t t0 )

e j t

0

f ( )e

j

d e j t F ( )0

dn 1. n f (t ) ( j )n F ( ) dt

2.证明：

d 1 f (t ) dt 2

F ( )[ e j t]d

d dt

j F ( )e j t d j F ( )

△6

用法：信号可以分解成两个信号，其中之一的频谱是冲激或冲激串使用

三.非周期信号的傅里叶变换 1.连续傅里叶变换性质

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名称唯线一性性

连续时间函 f (t )f1 (t ) f 2 (t )

傅里叶变换 F ( )FT[ f1 (t )] FT[ f 2 (t )] F ( )

备注 1△

名称

连续时间函数 f (t )

傅里叶变换 F ( )

备注

f1(t ) f 2 (t )f (at ), a 0

F1 ( ) F2 ( )1 F( ) a a

尺度比例变换对时称性移

F ( jt )f (t t0 )

2 f ( )F ( )e j t0

时域微分性质

d f (t ) dt

j F ( )

2△ 3△移 4△频 5△频域微分性质频域积分性质