圆锥曲线与圆之间的位置关系

教师版圆与圆锥曲线间的位置关系

题1：已知A（-2，0）、B（2，0），点C、点D满足|AC| 2,|AD|

1

(AB AC). 2

（1）求点D的轨迹方程；

（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆与M、N两点，线段MN的中点到y轴的 距离为

4

，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程。 5

【解题思路】:先求出轨迹,再将几何条件转化为等量关系求解.

【解析】：（1）设C、D点的坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，则=(x0+2，y0)，=(4，0)

则AB AC (x0+6，y0)，故AD

xy1

(AB AC) (0 3,0) 222

···2分

x0

3 x 2 x0 2x 2, 2

,解得 又AD (x 2,y),故

yy 2y. 0 0 y 2

代入|AC|

···4分

2

(x0 2)2 y0 2得x2+y2=1，即为所求点D的轨迹方程

···6分

（2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(x+2)

① ②

x2y2

1(a2＞4). 又设椭圆方程为2 2

aa 4

|2k|22

因为直线l与圆x+y=1相切，故

1

1，解得k2=.

3k2 1

将①代入②整理得，(a2k2 a2 4)x2 4a2k2x 4a2k2 a4 4a2 0,

13422222

而k=.即(a 3)x ax a 4a 0,

43

a2

, 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2= 2

a 3

a242

2 (a2＞3)，由题意有2求的a=8，经检验，此时△＞0.

5a 3

x2y2

1. 故所求的椭圆方程为 · 84

题2.（在平面直角坐标系xoy中，已知圆C

的圆心在第二象限，半径为x2y2

y x相切于原点O.椭圆2 1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为

a9

10.

(1)求圆C的方程；

(2)圆C上是否存在点Q，使O、Q关于直线CF(C为圆心，F为椭圆右焦点)对称，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

解析：(1)由题意知：圆心(2,2)

，半径C：(x 2) (y 2) 8

2

2

x2y2

1， (2)由条件可知a 5，椭圆

259

F(4,0)

(解法1)若存在，直线CF的方程的方程为y

1

(x 4)即x 3y 4 0 3

y

3 x

设Q(x , y),则 ，

x3y 4 0 224 x 412 5

解得 ，所以存在点Q，Q的坐标为(,).

55 y 12

5

22

(x 2) (y 2) 8

(解法2)由条件知OF=QF，设Q(x , y)

，则，

4

4 x 412 5

解得 ，所以存在点Q，Q的坐标为(,).

55 y 12

5

x2y2题3.. 已知椭圆C：2 2 1 (a b 0)的离心率为，过坐标原点O且斜率

2ab

为

1

的直线 l 与C相交于A、B，|AB| 2． 2

⑴求a、b的值；

⑵若动圆(x m)2 y2 1与椭圆C和直线 l 都没有公共点，试求m的取值范围．

x

1分，不妨设设A(2t , t)、B( 2t , t)（t 0） 2分， 2

2 8 1 22 ab 2

由|AB| 2得20t 40，t 2 3分，所以 5分，

22

c a b 3 a2 a

解得a 4，b 2 6分．

x2y2

1 22

⑵由 16消去y得3x 8mx 4m 12 0 7分，动圆与椭圆没有4

(x m)2 y2 1

222

公共点，当且仅当 ( 8m) 4 3 (4m 12) 16m 144 0或|m| 5 9分，

x22

解得|m| 3或|m| 5 10分。动圆(x m) y 1与直线y 没有公共点当且仅

2

|m| 3 |m| 5|m|

1，即|m| 12分。解 当或 13分，得m的取值范 |m| 5 |m| 5

⑴依题意， l ：y

围为m|5 m 3或m 5或 3 m 或m 5 14分． 14分

题4.设A、B是椭圆3x2 y2 上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （Ⅰ）确定 的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的 ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解题思路】通过分离系数构造关于 的不等式再作进一步处理。

解析（I）法1：依题意，可设直线AB的方程为y k(x 1) 3,代入3x2 y2 ，整理得

(k2 3)x2 2k(k 3)x (k 3)2 0. ①

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根， 4[ (k2 3) 3(k 3)2] 0 ②

2k(k 3)

且x1 x2 .由N(1,3)是线段AB的中点 2

k 3

x x2

1, k(k 3) k2 3. 得1

2

解得k=-1，代入②得， >12，即 的取值范围是（12，+ ）. 于是，直线AB的方程为y 3 (x 1),即x y 4 0. 法2：设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

22 3x1 y1 ,

3(x1 x2)(x1 x2) (y1 y2)(y1 y2) 0. 22

3x2 y2

3(x1 x2)

. 依题意，x1 x2, kAB

y1 y2

N(1,3)是AB的中点, x1 x2 2,y1 y2 6,从而kAB 1.

又由N(1,3)在椭圆内, 3 12 32 12. 的取值范围是(12, ).

直线AB的方程为y 3 (x 1),即x y 4 0.

AB, 直线CD的方程为y 3 x 1,即x y 2 0.代（II）法1： CD垂直平分

2

入椭圆方程，整理得 4x 4x 4 0. ③

又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为M(x0,y0),则x3,x4是方程③的两根，

113

x3 x4 1,且x0 (x3 x4) ,y0 x0 2 ,

222

13

即M( ,).

22

12

于是由弦长公式可得 |CD| ( ) |x3 x4| 2( 3). ④

k

2

将直线AB的方程x y 4 0,代入椭圆方程得 4x 8x 16 0. ⑤

2

同理可得 |AB| k |x1 x2|

2( 12). ⑥

当 12时,2( 3) 2( 12)., |AB| |CD|.

假设在在 >12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.，

13| 4|

|x0 y0 4|32

22 . ⑦ 点M到直线AB的距离为 d

222

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

AB29 12 3CD2

| ||. 22222

|CD|

故当 12时，A、B、C、D四点在以M为圆心，为半径的圆上.即A、B、C、

2|MA|2 |MB|2 d2 |

D四点共圆

x2y2

题5设椭圆C1：2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA

ab

的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：

y x2 1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程； （Ⅱ）设M（0，

4

），N为抛物线C2上的一动点，过5

点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求 MPQ面积的最大值．

（Ⅰ）解：由题意可知B（0，-1），则A（0，-2），故b=2．

令y=0得x 1 0即x 1，则F1(-1，0)，F2（1，0），故c=1．

2

2

22

x2y2

1． 5分 所以a b c 5．于是椭圆C1的方程为：54

（Ⅱ）设N（t,t 1），由于y' 2x知直线PQ的方程为：

2

y (t2 1) 2t(x t)． 即y 2tx t2 1． 7分

代入椭圆方程整理得：4(1 5t)x 20t(t 1)x 5(t 1) 20 0,

2

2

2

2

2

400t2(t2 1)2 80(1 5t2)[(t2 1)2 4]=80( t4 18t2 3),

5t(t2 1)5(t2 1)2 20

x1 x2 , x1x2 ,

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