圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结

包括椭圆、双曲线、抛物线知识点总结

双曲线知识点

一、 双曲线的定义：

1. 第一定义：

到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（PF1 PF2 2a F1F2（a为常数））

要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|.

当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；

当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；

当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.

2. 第二定义：

动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线l叫做双曲线的准线

二、

双曲线的标准方程：

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x2y2

2 2 1（a＞0，b＞0）(焦点在x轴上)；

aby2x2

2 2 1（a＞0，b＞0）(焦点在y轴上)；

ab

1. 如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上. a不一定大于b.

x2y2x2y2

2. 与双曲线2 2 1共焦点的双曲线系方程是2 2 1

aba kb k

x2y2

3. 双曲线方程也可设为： 1(mn 0)

mn

x2y2

例题：已知双曲线C和椭圆 且过P(3,4)点，求双曲线C的 1有相同的焦点，

169

三、

轨迹方程。

点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：

22x0y0x2y2

点P(x0,y0)在双曲线2 2 1(a 0,b 0)的内部 2 2 1

abab22x0y0x2y2

点P(x0,y0)在双曲线2 2 1(a 0,b 0)的外部 2 2 1

abab22

x0y0x2y2

点P(x0,y0)在双曲线2 2 1(a 0,b 0)上 2-2=1

abab

2 直线与双曲线：

（代数法）

x2y2

设直线l:y kx m，双曲线2 2 1(a 0,b 0)联立解得

ab

(b2 a2k2)x2 2a2mkx a2m2 a2b2 0

bb

1) m 0时， k 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；

aa

bb

k ，k ，或k不存在时直线与双曲线没有交点；

aa

2) m 0时，

k存在时，

若b2 a2k2 0

b

k ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

a

若b2 a2k2 0， ( 2a2mk)2 4(b2 a2k2)( a2m2 a2b2) ) 4a2b2(m2 b2 a2k 2

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0时，m2 b2 a2k2 0，直线与双曲线相交于两点； 0时，m2 b2 a2k2 0，直线与双曲线相离，没有交点；

m2 b222222

直线与双曲线有一个交点； 0时m b ak 0，k 2

a

若k不存在， a m a时，直线与双曲线没有交点； m a 或m 直线与双曲线相交于两点；a

3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：

x2y2

设直线l:y kx m过定点P(x0,y0)，双曲线2 2 1(a 0,b 0)

ab

1).当点P(x0,y0)在双曲线内部时：

bb

k ，直线与双曲线两支各有一个交点； aa

b

k ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

abb

k 或k 或k不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；

aa

2).当点P(x0,y0)在双曲线上时：

b2x0b

k 或k 2，直线与双曲线只交于点P(x0,y0)；

ay0a

bb

； k 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）

aab2x0b2x0bb

k 2（y0 0）或 k 2 （y0 0）或k 或k不存在，

ay0aay0a直线与双曲线在一支上有两个交点； 当y0 0时，

b

k 或k不存在，直线与双曲线只交于点P(x0,y0)；

abb

k 或k 时直线与双曲线的一支有两个交点；

aabb

； k 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）

aa

3).当点P(x0,y0)在双曲线外部时：

当P 0,0 时，

bb

k ，直线与双曲线两支各有一个交点； aabb

k 或k 或k不存在，直线与双曲线没有交点；

aa当点m 0时，

k 时，过点P(x0,y0)的直线与双曲线相切

b

k 时，直线与双曲线只交于一点；

a

几何法：直线与渐近线的位置关系

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四、

y2

例：过点P(0,3)的直线l和双曲线C:x 1，仅有一个公共点，求直线l的方

4

程。

双曲线与渐近线的关系：

2

x2y2

1. 若双曲线方程为2 2 1(a 0,b 0)

ab

x2y2b

渐近线方程：2 2 0 y x

abay2x2

2. 若双曲线方程为2 2 1（a＞0，b＞0）

ab

y2x2a

渐近线方程：2 2 0y x

abb

3. 若渐近线方程为y x

b

a

xy

0 ab

x2y2

双曲线可设为2 2 , 0.

abx2y2

4. 若双曲线与2 2 1有公共渐近线

ab

x2y2

则双曲线的方程可设为2 2 （ 0，焦点在x轴上， 0，焦点在y轴

ab

五、

上）

双曲线与切线方程：

xxyyx2y2

1. 双曲线2 2 1(a 0,b 0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02 02 1.

ababx2y2

2. 过双曲线2 2 1(a 0,b 0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

ab

x0xy0y

2 1. 2ab

x2y2

3. 双曲线2 2 1(a 0,b 0)与直线Ax By C 0相切的条件是A2a2 B2b2 c2.

ab

六、 双曲线的性质：

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y2 x2 1(a 0, b 0) a2 b2

第一定义：平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值是常数(小于 F1 F2 )的 点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

M

MF1 MF2 2a 2a F1F2

PF1

y

yx

y

y

xP

F2x

F2 F1

x

定义

第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ,当 e 1 时， 动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e ( e 1 )叫做双曲线的离心率。 PF1

y

y

y

Px

P

y

xP

F2x

F2 F1

x

范围 对称轴

x a , y R

y a , x R

x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b

对 称 中 原点 O(0,0) 心 焦 点 坐 标F1 ( c, 0) F2 (c, 0) F1 (0, c) F2 (0, c)

焦点在实轴上， c a 2 b 2 ;焦距： F1F2 2c

顶 点 坐 ( a ,0) ( a ,0) (0, a ,) (0, a ) 标 c e (e 1), c 2 a 2 b2 , e 越大则双曲线开口的开阔度越大 离心率 a 准 线 方 2 程 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： 2acx a2 cy a2 c

顶 点 到 顶点 A ( A )到准线 l ( l )的距离为 a a 2 1 1 2 c 准 线 的 距离

2

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七、 弦长公式：

若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则

AB AB 1 x2 y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB

y 12

2b2

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