二次根式的除法精讲精练(含答案)-

二次根式的除法

【基础知识精讲】 1.商的算术平方根:

aa＝ (a≥0,b＞0). bb

这就是说，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

2.二次根式的除法 (1)二次根式的除法法则:

a＝

a

(a≥0,b＞0). b

(2)分母有理化：

①定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

②方法：一般地，如果a≥0,b＞0，那么

ab

＝

a b ＝

ab(b)2

＝

ab. b

【重点难点】

重点 本节的重点是商的算术平方根和二次根式的除法法则. 难点 本节的难点也是商的算术平方根和二次根式的除法法则. 【典型例题解析】

25x434

例1 计算:(1)2； (2). 2

121y81

分析：本题考查商的算术平方根的性质，解题思路是运用商的算术平方根的性质计算. 解 (1) 2

3414

＝＝＝；

9818125x425x45x2

(2) ＝＝. 22121y11yy

总结 本题的解题关键是运用

aa

＝ (a≥0,b>0)化简. bb

例2 求下列各式的值:(1)

48； (2)(- 25

)÷. 354

分析：直接利用二次根式除法法则

a＝

a

(a≥0，b＞0)进行计算求值. b

解 (1)

483

＝

48

＝＝4； 3

(2)(-2525554)÷＝-÷＝- 35435435

＝-＝-32.

总结 本题的易错点是对-不化成-32.解题关键是利用二次根式的除法法则计算.

例3 把下列各式中的分母有理化：(1)

32；(2)

627

；(3)

3aa

.

分析：本题考查分母有理化的法则，解题方法是运用分式的基本性质将分子、分母同

乘以一个恰当的二次根式将分母中的根式化去.

解 (1)

32＝

＝

3 2 ＝

＝

32 ()2

＝

＝

35

； 10

(2)

6273aa

633

6 33 2； 3

＝

(3)＝

3a2a

＝

3a 3a2a a

627

＝

a. 2

总结 本题的易错点是

13a6272273aa

＝，＝＝

427912aa

a.解

题关键是分子、分母同乘以恰当的二次根式.

例4 计算：

(1) 2221

÷2×;(2)

b353

ab5·(-

3

2

a3b)÷3

b. a

解：(1) 221577537÷2×＝÷×＝·· 353335375

＝

537

··＝1； 375b2＝ab

(2)

2b

ab5·(-

32

a3b)÷3ab5·(-

32

a3b)·

13b a

＝

a23153

·(-)·ab ab ＝-·a2b2·ab＝-a2bab. b2bb

【难题点拨】

例1 求下列各式的值：

x4y(1) ，其中x＝0.2,y＝0.36,z＝0.25; 2

16z a 4 4 (2) a2 a ,其中a＝2.25.

x4yx2x4y解 (1) ＝＝

24z16z2z

当x＝0.2，y＝0.36,z＝0.25时，

2

2

2

y;

0.22

原式＝0.36＝0.04×0.6＝0.024;

4 0.25

a2 44 a2 44 a2 4 4

(2) a2 a a2 a a2 a ＝

a2 4a 4a2 4a 4 (a 2)2(a 2)2 ＝ ＝ 224 aaa 4a2 4

＝＝1-; 22

aa

当a＝2.25时，原式＝1-2

2

417

＝. 2

812.25

例2 把下列各式的分母有理化： (1)

a a

(a<1)； (2)

2(a 1)2a 4

a2

解：(1)原式＝＝

1 a a a

a a

(2)原式＝

2(a 1)2a 42a 4 2a 4

＝

2(a 1)2a 4(a 1)2a 4

＝

a 22(a 2)

【命题趋势分析】

(1)本节的中考热点是考查运用商的算术平方根化简和运用二次根式的除法法则计算，考查公式成立的条件等.

(2)本节内容在中考题中多以填空题、选择题形式出现.解二次根式的除法时，要选择恰当的方法.如有时选择除法法则，有时应选择分母有理化.要区分商的算术平方根与积的算术平方根的成立条件的细微但又很重要的差别.

【典型考题】

例1 等式

x 1x 1

＝成立的条件是( ) x 2x 2

A.x≥-1 B.x＞2 C.x≥2 D.-1≤x＜2

解 根据商的算术平方根性质的限定条件，知本题中等式成立的条件是 由此得x＞2.故选B.

例2 化简下列各题: (1)

x 1 0

，

x 2 0

22； (2)

5

＝

；(3)

b； (4)

a ba b

;(5)

2x 2x 1

; (6)

mn n2m n

.

解 (1)

2222＝＝；

284

(2)

bb

＝

＝-

＝-3； 5

＝b;或

(3)

b bb b

b＝

(b)2

＝;

(4)

a ba b2x 2x 1

＝

(a b)2

a b

2(x 1)x 1

＝

＝a b;

(5) ＝

2(x 1)2

x 1

＝2x 1;

(6)

mn n2m n

＝

n(m n)

n(m n)2＝＝nm n

m nm n

a2 aba ab

2

例3 把下列各式的分母有理化： (1)

0.560.42

(2) (a≥b≥0).

解 (1)

0.50.42

＝

56 242 2

＝

5 4 2

＝-

55 23＝-44 2

3;

a(a b)a(a b)

(2)

a2 aba ab

2

＝＝

a a ba a b

＝

a b a ba b a b

＝

a b a b

a b

【同步练习】 1.选择题

(1)若ab≠0时，则等式- A.a＞0,b＞0 (2)2

1a＝b5b3

ab成立的条件是( )

C.a＜0,b＞0

D.a＜0,b＜0

B.a＞0,b＜0

17

，，

22

62的大小顺序是( )

A.2

17

＜＜

221

2

62

B.2

71＜22

12

62＜

7 2

C.

62＜2

7

＜ 2

D.

62＜＜2

2.填空题 (1)分母有理化：

562＝ ，

4xy2xy

＝ .

(2)化简3.计算 (1) (4)

a b

＝ (a＞b). a b

.6.4

； (2) 321

÷； (3)320÷(

4332

2)； 3

493 ； (5)(56-43)÷(32).

4.把下列各式的分母有理化 (1)

12a

; (2)

522

; (3)

xx y

(x＞y)；

ymn n2(4)6x; (5) ; (6) ;

2xm n

(7)

0.327

; (8)

20xyxy

; (9)

5.计算 (1)32·1

2

6÷8；

(3)32x÷xy·2x3;

(5)3·13

÷(-318

x2xy4xy3

)；

2mm 2n.

m2

2mn

·

3520÷(-13

)；

xy3

÷(-

1y

2x

)·(-22x); 45÷3

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