§3 3.2 第1课时 等比数列的前n项和

3.2 等比数列的前n项和第1课时 等比数列的前n项和

1.掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题. 1.掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题. 掌握等比数列的前 2.由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和 2.由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 公式. 公式. 3.从 错位相减法”这种算法中，体会“消除差别” 3.从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”的 策略方法. 策略方法.

在一个月中， 明总：在一个月中， 我第一天给你一万， 我第一天给你一万， 以后每天比前一天多 给你一万元. 给你一万元

林总：我第一天还你一分钱， 天还你一分钱， 以后每天还的钱 是前一天的两倍. 是前一天的两倍

林总：哈哈！这么 哈哈！多钱！我可赚大了， 多钱！我可赚大了， 我要是订了两个月、 我要是订了两个月、 三个月那该多好啊！ 三个月那该多好啊！

果真如此吗? 果真如此吗

想一想： 想一想：请你们帮林总分析一下这份合同是否能签？ 请你们帮林总分析一下这份合同是否能签？

贷款钱数：T30 = 1 + 2 + 3 + + 30

(1 + 30 ) × 30 = 465 =2

( 万元 ) .

还款钱数： S30 = 1 + 2 + 22 + + 229 ( 分 ) .

问题1:如何求S30?T30 和S30哪个大？

S30 = 1 + 2 + 2 + 2 + + 2 ,2 3 29

① ②

2S30 = 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 .2 3 29 30

错位相减法 ,得 由 ① - ②,得 (1 2 ) S 3 0 = 1 2 3 0 , 即 S 3 0 = 2 3 0 1 .

想一想： 你们还有什么方法？ 想一想： 你们还有什么方法？

S30 = 1 + 2 + 22 + + 229= 1 + 2 (1 + 2 + 22 + + 228 ) = 1 + 2 ( S30 2S30 2 S30 = 1 230 , S30 = 230 129

),

= 1 073 741 823 ( 分 ) ≈ 1 073.74 ( 万元 ) .

明总：这是我做的最成功 的一笔生意！ 的一笔生意！

问题2 你 问题2: 会求1+ q + q 2 + q3 + ...+ q n-1的和吗？29 q + q2 + q3 + + qn-1 , S n = 1+ 2 2 2 2 30

①

n 29 qn-1+ q30 . ② q S 30 = q + q + q + + 2 2 2 n 2 2 2 n q ) Sn = 1 q30 , ② ,得 由① 2 (1 2 30 n, q (30 = 1) n 1 q 2 S = 1 q q ) (S ≠=1230 1 Sn = 30 ( 1 q 1 q q,≠ 1) 即 30 2 . 2 3n n

问题3 问题3:你会求等比数列 {an } 的前n项和吗？ 的前n项和吗？

S n = a1 + a2 + a3 + + an = a1 + a1q + a1q 2 + + a1q n 1

= a1 (1 + q + q 2 + + q n 1 ) na1 , S n = a1 (1 q n ) 1 q

( q = 1) ( q ≠ 1)

a1 an q = 1 q

例1: (1)已知等比数列 {a n }中，a1 = 2,q = 3,求S3; (1)已 3,求1 1 1 (2)求 ...的 10项 (2)求等比数列1, , , ,...的前10项的和 . 2 4 8解：(1)S3 = 2 × (1 33 ) 1 3 = 26 .

1 1× [1 ) ] ( 10 1 1 023 2 (2)因为公比q = , S10 = = . 1 2 512 1

2

五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在以后5 300万元 例2: 五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在以后5年中 每年比上年利税增长10%.问从今年起第5 每年比上年利税增长10%.问从今年起第5年的利税是 10%.问从今年起第 多少？ 多少？这5年的总利税是多少(结果精确到万元)? 年的总利税是多少(结果精确到万元)? 解：每年的利税组成一个首项a1=300,公比 每年的利税组成一个首项a =300, q=1+10%的等比数列.从今年起， q=1+10%的等比数列.从今年起，第5年的利税为 的等比数列

a6 = a1q 5 = 300 × (1 + 10%)5 = 300 ×1.15 ≈ 483(万元)这5年的总利税为

a2 (q 5 1) 1.15 1 S= = 300 × 1.1× ≈ 2 015(万元) q 1 1.1 1

1 1 1 127 1.等 ...的 1.等比数列1, , , ,...的前多少项和为 ？ 2 4 8 64a1 1 - q n 1 127 解析：已知a1 = 1,q = ,Sn = ,求n . 由公式S n = ,求 得n = 7 . 2 64 1- q

(

)

1 1 1 2.求 10项 2.求等比数列1, , , , 的第5项到第10项的和. 2 4 81 1 1 解析：已知a1 = 1,q = 得a 5 = ,a10 = 1, , 2 16 512 1 1 1 × 63 由公式得S = 16 512 2 = . 1 512 12

1 1 1 3.求 2n项 3.求等比数列1, , , , 的前2n项中所有奇数项的和 2 4 8 的 表达式.

1 解 析 ： 已 知 a 1 = 1,q = ,项 数 为 n,求 S n , ,项 n,求 4 a1 1 - q n 4 由 公 式 Sn = 得 Sn = 1 - 4 -n . 1-q 3

(

)

(

)

1.本节课主要学习了等比数列的前n 1.本节课主要学习了等比数列的前n项和公式 本节课主要学习了等比数列的前 na1 , ( q = 1) S n = a1 (1 - q n ) a - a q = 1 n . ( q ≠ 1) 1- q 1- q

及其简单应用. 及其简单应用.

2.本节课用到了由特殊到一般的思想、错位相减法、 2.本节课用到了由特殊到一般的思想、错位相减法、分 本节课用到了由特殊到一般的思想 类讨论思想、方程思想等. 类讨论思想、方程思想等.