2013年中考二次函数与圆 答案

2013年数学中考试题专题3——二次函数与圆

7、（2013 内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L． （1）求△ABC的面积；

（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；

（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．

∵a=

>0,开口向上，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大， ,

∴x=1.5 时，y 最大=

如图 2,当 1.5<x<3 时，作 MG⊥DE 于 G, ∵AD=x, ∴BD=DM=3﹣x, ∴DG=(3﹣x) ,MF=MN=2x﹣3, ∴MG= (3﹣x) ,

∴y= =﹣ ;

,

(3) ,如图 4,∵y=﹣ ∴y=﹣ y=﹣ ∵a=﹣ (x ﹣4x)﹣ (x﹣2) +2 2

; , ,

<0,开口向下， ,

∴x=2 时，y 最大= ∵ > ,

∴y 最大时，x=2, ∴DE=2,BD=DM=1.作 FO⊥DE 于 O,连接 MO,ME. ∴DO=OE=1, ∴DM=DO. ∵∠MDO=60°, ∴△MDO 是等边三角形， ∴∠DMO=∠DOM=60°,MO=DO=1. ∴MO=OE,∠MOE=120°, ∴∠OME=30°, ∴∠DME=90°, ∴DE 是直径， 2 S⊙O=π ×1 =π .

点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时． ①求证：∠BDE=∠ADP；

②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

最后根据

即可求出点 P 的坐标.

解 解： (1)设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+4, 答： 代入(4,0)得：4k+4=0, 解得：k=﹣1, 则直线 AB 的函数解析式为 y=﹣x+4; (2)①由已知得： OB=OC,∠BOD=∠COD=90°, 又∵OD=OD, ∴△BOD≌△COD, ∴∠BOD=∠CDO, ∵∠CDO=∠ADP, ∴∠BDE=∠ADP, ②连结 PE, ∵∠ADP 是△DPE 的一个外角， ∴∠ADP=∠DEP+∠DPE, ∵∠BDE 是△ABD 的一个外角， ∴∠BDE=∠ABD+∠OAB, ∵∠ADP=∠BDE,∠DEP=∠ABD, ∴∠DPE=∠OAB, ∵OA=OB=4,∠AOB=90°, ∴∠OAB=45°, ∴∠DPE=45°, ∴∠DFE=∠DPE=45°, ∵DF 是⊙Q 的直径， ∴∠DEF=90°, ∴△DEF 是等腰直角三角形， ∴DF= DE,即 y= x; (3)当 BD:BF=2:1 时， 过点 F 作 FH⊥OB 于点 H, ∵∠DBO+∠OBF=90°,∠OBF+∠BFH=90°,

∴∠DBO=∠BFH, 又∵∠DOB=∠BHF=90°, ∴△BOD∽△FHB, ∴ = = =2,

∴FH=2,OD=2BH, ∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°, ∴四边形 OEFH 是矩形， ∴OE=FH=2, ∴EF=OH=4﹣OD, ∵DE=EF, ∴2+OD=4﹣OD, 解得：OD=, ∴点 D 的坐标为(0, ) , ∴直线 CD 的解析式为 y=x+, 由 得： ,

则点 P 的坐标为(2,2) ; 当 =时，

连结 EB,同(2)①可得：∠ADB=∠EDP, 而∠ADB=∠DEB+∠DBE,∠EDP=∠DAP+∠DPA, ∵∠DEP=∠DPA, ∴∠DBE=∠DAP=45°, ∴△DEF 是等腰直角三角形， 过点 F 作 FG⊥OB 于点 G, 同理可得：△BOD∽△FGB, ∴ = = =,

∴FG

=8,OD=BG, ∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°, ∴四边形 OEFG 是矩形， ∴OE=FG=8, ∴EF=OG=4+2OD, ∵DE=EF, ∴8﹣OD=4+2OD, OD=

4 , 3

4 ) , 3 1 4 直线 CD 的解析式为：y=﹣ x﹣ , 3 3∴点 D 的坐标为(0,﹣

A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；

（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.

解析：（1）把点（b－2，2b－5b－1）代入解析式，得

2b－5b－1=（b－2）+b（b－2）－3b+3， ……………1′ 解得b=2.

2

∴抛物线的解析式为y=x+2x－3. ……………2′

2

（2）由x+2x－3=0，得x=－3或x=1.

∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.

抛物线的对称轴是直线x=－1，圆心M在直线x=－1上. ……………3′ ∴设M（－1，n），作MG⊥x轴于G，MH⊥y轴于H，连接MC、MB.

∴MH=1，BG=2. ……………4′

2222

∵MB=MC，∴BG+MG=MH+CH，

22

即4+n=1+（3+n），解得n=－1，∴点M（－1，－1） ……………5′ （3）如图，由M（－1，－1），得MG=MH. ∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2. 由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF.

若△DMF为等腰三角形，则△AME为等腰三角形. ……………6′ 设E（x，0），△AME为等腰三角形，分三种情况： ①AE=AM=5，则x=5－3，∴E（－3，0）；

②∵M在AB的垂直平分线上，

∴MA=ME=MB，∴E（1，0） ……………7′ ③点E在AM的垂直平分线上，则AE=ME.

2

2

2

AE=x+3，ME2=MG2+EG2=1+（－1－x）2，∴（x+3）2=1+（－1－x）2，解得x= ，∴E（ ，

0）.

∴所求点E的坐标为（－3，0），（1，0），（

7

，0） ……………8′ 4

7474

2

16、（2013 自贡压轴题）如图，已知抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解得

,

∴抛物线的解析式为：y= x + x﹣2.

2

(2)抛物线的解析式为：y= x + x﹣2, 令 x=0,得 y=﹣2,∴C(0,﹣2) , 令 y=0,得 x=﹣4 或 1,∴A(1,0) . 设点 M 坐标为(m,n) (m<0,n<0) , 如答图 1 所示，过点 M 作 MF⊥x 轴于点 F,则 MF=﹣n,OF=﹣m,BF=4+m. S 四边形 BMCA=S△BMF+S 梯形 MFOC+S△AOC = BF MF+ (MF+OC) OF+ OA OC = (4+m)×(﹣n)+ (﹣n+2)×(﹣m)+ ×1×2 =﹣2n﹣m+1 ∵点 M(m,n)在抛物线 y= x + x﹣2 上， ∴n= m + m﹣2,代入上式得： S 四边形 BMCA=﹣m ﹣4m+5=﹣(m+2) +9, ∴当 m=﹣2 时，四边形 BMCA 面积有最大值，最大值为 9. (3)假设存在这样的⊙Q. 如答图 2 所示，设直线 x=﹣2 与 x 轴交于点 G,与直线 AC 交于点 F. 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,将 A(1,0) 、C(0,﹣2)代入得： , 解得：k=2,b=﹣2, ∴直线 AC 解析式为：y=2x﹣2, 令 x=﹣2,得 y=﹣6,∴F(﹣2,﹣6) ,GF=6. 在 Rt△AGF 中，由勾股定理得：AF= = =3 . = .2 2 2 2

2

设 Q(﹣2,n) ,则在 Rt△AGF 中，由勾股定理得：OQ= 设⊙Q 与直线 AC 相切于点 E,则 QE=OQ= 在 Rt△AGF 与 Rt△QEF 中， ∵∠AGF=∠QEF=90°,∠AFG=∠QFE, ∴Rt△AGF∽Rt△QEF, .

B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，A …… 此处隐藏：4454字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……