第3章 随机信号的频域分析

经典讲义

第三章 随机信号的频域分析

3.1 随机信号功率谱密度

1. 确知信号f(t)：

f(t) 傅氏变换---Æ频域F(ω)

时间相关函数R(τ) 傅氏变换--Æ功率谱Ps(ω) （注：能量有限信号的时间相关函数R(τ)=∫ 信号能量为：

1

E=∫f(t)dt=

∞2π

∞

2

∞ ∞

x(t)x*(t+τ)dt）

∫∫

∞

∞

F(ω)dω

2

信号功率为：

1

P=lim

T→∞2T

11

ftdt=lim()∫ T

2πT→∞2T

T

2T

T

T

FT(ω)dω （fT(t)是f(t)截短函数）

2

能量谱和功率谱为：

FT(ω)

E(ω)=|FT(ω)|2 P(ω)=lim

T→∞2T

2. 平稳随机信号：

随机过程的样本函数是确知信号，故分析可以从样本函数的功率谱开始；但样本函数的功率谱无法代表整个随机过程的功率谱，也是随机的，取统计平均。

平稳随机过程X(t)也属功率型信号(功率有限)，但是由于随机性某一具体样本函数(实现)X(t,ξ) 并不能代表整个随机过程，因此必须对每一可能实现取统计平均，类似于确知信号有：信号平均功率

2

1

P=lim

T→∞2T1

EXtdt=lim(){}∫ TT→∞2T

T

2

T

∫

T

T

RX(t,t)dt

其中XT(t) 为X(t)的截短函数。类似地由帕塞瓦尔等式有

P=lim

1T→∞2T

∫

T

T

2

E{XT(t)}dt=

11

lim2πT→∞2T

∫

T

T

EXT(ω)dω

{

2

}

因此我们得到随机过程X(t)的功率谱密度的定义为

E[|XT(ω)|2]

PX(ω)=lim

T→∞2T

其中XT(ω) 为X(t)截短函数XT(t)的傅氏变换。

经典讲义

下面考察平稳随机过程功率谱密度同自相关函数的关系： 将傅氏变换定义代入上式，有

1

PX(ω)=limE T→∞ 2T

1

=limT→∞2T

1

=limT→∞2T

T

∫

T

TT

XT(t1)e

jωt1

dt1∫XT(t2)ejωt2dt2

T

T

∫∫

TT

TT

E{X(t1)X(t2)}e jω(t1 t2)dt1dt2R(τ)e jωτdt1dt2

∫∫

T

T

图3.1 变量置换过程

则τ∈[ 2T,2T]，t 在直线 T τ和T τ 之间将上式的积分变量变换成t=t2和τ=t1 t2，

变化，这一二重积分变换的积分范围变换如图3.1所示。积分分成两个区域，ACD区域内，

τ∈[ 2T,0]，t∈[ T τ,T]，在ACB 区域内,τ∈[0,2T],t∈[ T,T τ]。因此

0T2TT τ 1 jωτ jωτ+PX(ω)=lim RτedτdtRτedτdt()() XX∫∫∫∫T→∞ 2 2T T τ0 T T 2T 2 0 2T+τ T τ jωτ jωτ =lim ∫ +RedRedττττ()() XX ∫ T→∞ 2T 0 2T2T

2T =lim∫ T→∞ 2T 2T

2T RX(τ)e jωτdτ

∞ ∞

当T→∞时，2T)→0，若相关函数绝对可积∫

PX(ω)=∫

∞ ∞

R(τ)dτ<∞，上式可简化为

RX(τ)e jωτdτ

F.T.

→PX(ω)互这就意味着：平稳随机过程在其自相关函数绝对可积的条件下，RX(τ)←

为傅里叶变换对，有RX(τ)=

Relations)。

1

∫

∞

∞

PX(ω)ejωτdω：维纳－欣钦公式(Winener-Khinchin

3. 维纳－欣钦公式推广：

相关函数绝对可积――相应的随机过程不含有直流或周期成份；

在功率谱密度中引入δ函数，则可以推广到这种含直流或周期性成分的平稳随机过程中。

经典讲义

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 例3.1 设随机相位正弦波X(t)=acos(ω0t+Φ)，其中a，ω0为常数，随机变量Φ服从

[0,2π]上的均匀分布。判断X(t)是否为平稳过程，求出其自相关函数和功率谱密度。

a2

解：根据第二章例题可知mX(t)=0，RX(t1,t2)=cosω0τ=RX(τ)

2

随相正弦波为宽平稳随机过程。

PX(ω)=∫

∞

∞

RX(τ)e

2

jωτ

a2πa2π

δ(ω ω0)+δ(ω+ω0) dτ=22

∞

1

dω=a2/2。

∞2π

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

X(t)的平均功率S=R(0)=a/2，也可S=∫

PX(ω)

例3.2 随机过程与随机相位的正弦波混频

设X(t)为宽平稳过程，与随机相位正弦波cos(ω0t+Θ)混频 Y(t)=X(t)cos(ω0t+Θ)

其中ω0为常数，Θ为[0,2π]区间均匀分布的随机变量。求RY(τ)与PY(ω)。 解：

RY(τ)=E{Y(t)Y(t+τ)}=E{X(t)X(t+τ)cos(ω0t+ω0τ+Θ)cos(ω0t+Θ)}

1 1 =E{X(t)X(t+τ)}E cos(ωτ)+cos(2ωt+ωτ+2Θ) 000 2 2

1

=RX(τ)cos(ω0τ)2

可见，Y(t)仍然是广义平稳随机过程。

PY(ω)=∫

1

RX(τ)cos(ω0τ)e jωτdτ

∞ ∞21∞1∞ j(ω ω0)τ=∫RX(τ)edτ+∫RX(τ)e j(ω+ω0)τdτ 4 ∞4 ∞1

=[PX(ω ω0)+PX(ω+ω0)]4

∞

RY(τ)dτ=∫

∞

3.2． 联合平稳信号互功率谱密度与互相关函数之间的关系 

若X(t)，Y(t)联合平稳，则 RXY(t,t+τ) GXY(ω)

经典讲义

∞ jωτ

GωRτedτ=()()XYXY∫ ∞即 ∞1 RXY(τ)=GXY(ω)ejωτdω ∫ 2π ∞

3.3 白噪声

定义：若平稳随机信号N(t)的均值为零，功率谱密度在整个频率轴( ∞,∞)上均匀分布，

满足GN(ω)=N02, 其中N0为正的实常数，则称N(t)为白噪声，“白”――全频域恒定值，

类似于白光谱，白噪声功率谱密度如图：

图3.4 白噪声功率谱密度

1. 白噪声数字特征：

N

RN(τ)=FT 1 GN(ω) =0δ(τ)

2

2

mX=0 mX=0（直流和直流功率）

22

σN=R(0) mX=

N0

δ(0)=∞ （交流功率无穷大） 2

ρn(τ)=

RN(τ) 1τ=0

（噪声相关系数：不同时刻信号正交） =

RN0 0τ≠0

2. 低通带限白噪声：

N02ω≤ /2

功率谱密度：GX(ω)=

> 0ω/2

1∞ N0jωτ

Ged= Sa( τ/2) ωω自相关函数： RX(τ)=()X

2π∫ ∞4π

3. 带通带限白噪声：

N0

功率谱密度为GY(ω)= 2

0

ω0

≤ω≤ω0+22

else

自相关函数： RY(τ)=

ΩN0

Sa(Ωτ/2) cosω0τ=2RX(τ)cosω0τ 2π