抽象函数的单调性和奇偶性[1]

抽象函数的单调性和奇偶性

抽象函数的单调性和奇偶性

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：

一、判断单调性和奇偶性

1. 判断单调性

根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

么f(x)在区间[ 7， 3]上是 A. 增函数且最小值为 5 B. 增函数且最大值为 5 C. 减函数且最小值为 5 D. 减函数且最大值为 5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B。

例1．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那

例2．偶函数f(x)在(0， )上是减函数，问f(x)在( ，0)上是

增函数还是减函数，并证明你的结论。

分析：如图所示，易知f(x)在( ，0)上是增函数，证明如下：

任取x

1 x2 0 x1 x2 0

因为f(x)在(0， )上是减函数，所以

f( x1) f( x2)。

又f(x)是偶函数，所以

f( x1) f(x1)，f( x2) f(x2)，

从而f(x1) f(x2)，故f(x)在( ，0)上是增函数。

2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f(x)与f( x)的关系。

例3．若函数y f(x)(f(x) 0)与y f(x)的图象关于原点对称，判断：函数 y f(x)是什么函数。

解：设y f(x)图象上任意一点为P（x0，y0）

y f(x)与y f(x)的图象关于原点对称，

P(x0，y0)关于原点的对称点( x0， y0)在y f(x)的图象上，

抽象函数的单调性和奇偶性

y0 f( x0)

y0 f( x0)

又y0 f(x0)

f( x0) f(x0)

即对于函数定义域上的任意x都有f( x) f(x)，所以y f(x)是偶函数。

二、证明单调性和奇偶性

1.证明单调性

例4．已知函数f(x)= g(x) 1,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是g(x) 1

增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R)

求证： f(x)是R上的增函数

解:设x1>x2

g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0

g(x) > g(x) >0

g(x)+1 > g(x)+1 >0

2 >2 >0 12 12

g(x2) 1g(x1) 1

22 - >0 g(x2) 1g(x1) 1

f(x1)- f(x2)= g(x1) 1g(x2) 122- =1--(1-) g(x1) 1g(x2) 1g(x1) 1g(x2) 1

=22->0 g(x2) 1g(x1) 1

2 f(x) >f(x)

f(x)是R上的增函数 1

例5．已知f(x)对一切x，y，满足f(0) 0，f(x y) f(x) f(y)，且当x 0时，f(x) 1，求证：（1）x 0时，0 f(x) 1；（2）f(x)在R上为减函数。 证明： 对一切x，y R有f(x y) f(x) f(y)。

抽象函数的单调性和奇偶性

且f(0) 0，令x y 0，得f(0) 1，

现设x 0，则 x 0，f( x) 1，

而f(0) f(x) f( x) 1 f( x) 1 1 f(x)

0 f(x) 1，

设x1，x2 R且x1 x2，

则0 f(x2 x1) 1，

f(x2) f[(x2 x1) x1]

f(x2 x1) f(x1) f(x1)

f(x1) f(x2)，

即f(x)为减函数。

2.证明奇偶性

例6．已知f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y满足f(xy) f(x) f(y)，求证：f(x)是偶函数。

分析：在f(xy) f(x) f(y)中，令x y 1，

得f(1) f(1) f(1) f(1) 0

令x y 1，得f(1) f( 1) f( 1) f( 1) 0

于是f( x) f( 1 x) f( 1) f(x) f(x)

故f(x)是偶函数。

三、求参数范围

这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例7．已知f(x)是定义在（ 1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f(a 2) f(4 a2) 0，试确定a的取值范围。

抽象函数的单调性和奇偶性

解： f(x)是偶函数，且在（0，1）上是增函数，

f(x)在( 1，0)上是减函数，

1 a 2 1 由 得3 a 。 2 1 4 a 1

（1）当a 2时，

f(a 2) f(4 a) f(0)，不等式不成立。

（2）当3 a 2时， 2

f(a 2) f(4 a2)

1 a 2 0 22 f(a 4) 1 a 4 0

a 2 a2 4

解之得， a 2

（3）当2 a 时，

2 f(a 2) f(4 a) 0 a 2 1 f(a2 4) 0 a2 4 1 a 2 a2 4

解之得，2 a 综上所述，所求a的取值范围是(3，2) (2，)。

例8．已知f(x)是定义在( ，1]上的减函数，若f(m sinx) f(m 1 cosx)对22x R恒成立，求实数m的取值范围。

m2 sinx 3 2 解： m 1 cosx 3

m2 sinx m 1 cos2x

2 m sinx 3 对x R恒成立 2 2 m sinx m 1 cosx

对x R恒成立

抽象函数的单调性和奇偶性

m2 3 sinx 2125 2 m m 1 sinx cosx (sinx 2) 4

对x R恒成立， m2 3 1 25m m 1 4

2 m 1 为所求。2

四、不等式

1.解不等式

这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为代数不等式求解。

例9．已知函数f(x)对任意x，y R有f(x) f(y) 2 f(x y)，当x 0时，f(x) 2，f(3) 5，求不等式f(a2 2a 2) 3的解集。

解：设x1、x2 R且x1 x2

则x2 x1 0

f(x2 x1) 2，

即f(x2 x1) 2 0，

f(x2) f[(x2 x1) x1]

f(x2 x1) f(x1) 2 f(x1)

f(x2) f(x1)

故f(x)为增函数，

又f(3) f(2 1) f(2) f(1) 2 3f(1) 4 5

f(1) 3

f(a2 2a 2) 3 f(1)，

即a 2a 2 12

1 a 3

因此不等式f(a 2a 2) 3的解集为 a| 1 a 3 。 2

2. 讨论不等式的解

抽象函数的单调性和奇偶性

求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

例10．已知函数f(x)是定义在( ，1]上的减函数，且对一切实数x，不等式

f(k sinx) f(k2 sin2x)恒成立，求k的值。

分析：由单调性，脱去函数记号，得 22 k sinx 1 22 k sinx k sinx

k2 1 sin2x(1) 2112k k (sinx ) 42 (2)

由题意知(1)(2)两式对一切x R恒成立，则有 k2 (1 sin2x)min 1 21129 k 1

k k 4 (sinx 2)max 4

五、比较函数值大小

利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

例11．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，x 0时，f(x)是增函数，若x1 0，x2 0，且|x1| |x2|，则f( x1)，f( x2)的大小关系是_______。

分析： x1 0，x2 0且|x1| |x2|，

0 x1 x2 x2 x1 0

又x 0时，f(x)是增函数，

f( x2) f(x1)

f(x)是偶函数，

f( x1) f(x1)

故f( x1) f( x2)

六、综合问题求解

解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”。

例12.设函数y f(x)定义在R上，当x 0时，f(x) 1，且对任意m，n，有

抽象函数的单调性和奇偶性

f(m n) f(m) f(n)，当m n时f(m) f(n)。

（1）证明f(0) 1；

（2 …… 此处隐藏：2337字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……