垂直于弦的直径(一)

垂直于弦的直径（一）

一、教学目标：

（1）知识目标

①使学生理解圆的轴对称性。

②掌握垂径定理，并学会运用垂径定理，解决有关的证明，计算。

③掌握过圆心作一条与弦垂直的线段的辅助线的作法。

（2）、能力目标

①通过探究、发现定理，培养学生观察，分析、逻辑思维能力和归纳能力

②提高学生的阅读质疑能力，通过选择最优方法、培养学生思维的灵活性。

（3）、情感目标

①通过垂径定理的证明，渗透几何变换思想。

②师生共同探究定理，师生共作，充分发挥学生学习的主体作用，激发学生探究数学问题的兴趣。

2、教学重点：垂径定理的内容、应用及有关辅助线的作法。

3、教学难点：理解垂径定理的题设和结论及垂径定理的证明方法。

4、教学方法：启发式，先做后说，师生共作。

5、教具：课件

教学过程

一、创设情境

问题1：圆具有什么性质呢？请同学们把自己画的圆（课前让学生准备好）对折一下发现什么？这说明圆是一个什么图形？它有多少条对称轴？（显示：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴）。今天我们就利用圆的轴对称来研究“垂直于弦的直径”的问题。（板书课题）

问题2：（教师出示一个擦去圆心的圆心纸片）问：大家能不能用折叠的方法把这个圆的圆心找到？

二、分析猜想

1、把折线找圆心的方法投影在屏幕上（给出另一种情况，学生未得到，教师直接给出）两种不同的情况在于直径的位置关系不同。教师问，学生观察，猜想。学生回答，教师引导补充：一个是斜交，另一个是垂直。

A

B

C

D

O

A B

C

D

O

A B

C

D

O

2、问题：在直径CD

的两侧相邻的两条弧是否相等？学生观察，回答：右图中

=，=。

3、若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，刚才的结论还成立吗？学生观察，归纳出上述结论依然成立。

4、要求学生在圆纸片上画出上图，并沿CD折叠。

（教师利用投影，增加效果）

5、通过折叠、观察，大家还发现什么结论？（另外还有：AE=BE）

三、论证评价

1、证明

这个结论是同学们通过实验猜想出来的，能否从理论上证明它呢？下面讨论它的证明（在上述板书中加上“已知”、“求证”）。

分析：从刚才的实验中知道：把圆沿直径CD所在直线对折后发现线段AE与BE

重叠，与重叠，与重叠，因此它们分别相等。现在我们中要研究这样折叠为什么会重叠就行了。

证明：……(教师用实物边演示边用电脑在屏幕上逐句显示文字表达及图中有关的部分)：

（1）连接OA、OB。

（2）分加用亮条显示CD左右两侧的两个半圆，然后在右侧着色。

（3）用亮光显示点A、B。

（4）用亮条显示AE、BE。

（5）用亮条显示、、、。A

B

C

D O

图4

2、形成定理 经过证明这个命题是正确的，我们把它作为一个定理，谁能将这个定理用一句话把它表达出来？（根据学生回答板书；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）。

强调：定理的题设有两个：

①直径 ②垂直于弦

结论：①平分弦 ②平分弦所对的两条弧

（1）若将上述图形变为：0E ⊥ AB 于E ，则AE 与BE 相等吗？（如图5）投影显示：

（2）若只满足CD 是直径（如图6）或CD ⊥ AB （如图7），则上述结论还成吗？（强调：两个条件缺一不可）

O A B E

图5 A B C D O E 图6 A B

C

D O

图7E

因此定理又可表述为：（显示）

CD 是直径

AE=BE

（或CD 过圆心） =

CD ⊥AB

=

四、推广应用

1、例题分析：

（投影）如图：已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心0到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。

（1）分析：“圆心0至AB 的距离为3 cm ”指的是哪一条线段？要求半径必须连结OA 。（分别显示OE ⊥ AB 于E 、OA ）

（2）添出辅助线后启发学生思考解法，然后师生同时给出解答。

A B

E

O 2、变式训练

练习：如上图，OE ⊥ AB 于E ，口答：

①若OE=1，OA=2，则AB=_________；

②若AB=1，∠AOE=30º，则OE=_________；

③若OE=6cm ，AB=16cm ，则⊙O 的直径为________cm 。 小结：①辅助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的辅助线；②若圆的半径为r ，圆心到弦的距离为d ，弦长为a ，则r 、a 、d 间有什么关系？根据什么？

（由学生归纳出r 2=d 2+（2a

）2,并用投影显示）

因此已知r 、d 、a 中的两个量就可求出第三个量。

变式1：若以O 为圆心，再画一个圆交弦AB 于C 、D ，则AC 与BD 间可能存在什么关系？（教师口述，电脑显示）

图6

O D

C B A E 方法1方法2A B C

D O 方法3A B

C D O E

（由学生作出判断后思考证法）

注：估计学生会提出方法1、2，此时教师可有意识引导学生进行计论，方法3只有当学生提出时才作简单分析。

最后通过比较择优，进一步突出“过圆心作弦的垂线段”这条辅助线的重要性和应用垂径定理的优越性。

变式2：（电脑演示）

①若将AB 弦往下平移，AC 和BD 仍相等吗？

②当移到过圆心时，AB 是大圆直径，CD 是小圆直径，AC=BD ，属特殊情形。 ③当AB 移到与小圆只有一个交点时（如图），AC 与BC 相等吗？这个问题我们今后将会学到，有兴趣的同学课外先去预习一下。

教师小结：解决此类问题的关键，是利用垂径定理，由圆心引弦AB 的垂线。

B

3、反馈练习 （1）如图，已知AB 是⊙O 的直径，MN 是弦，AB MN 于P ，则MP=_______，

=_______，=__________。 B O

N M

A P

（2）如图，⊙O 的半径为50mm ，弦AB=503mm ，则点O 到AB 的距离为________，

∠AOB=__________度。

（3）第78页第2题。

4、小结（尽可能由学生自己归纳）

1、圆的两条重要性质；

（1）圆是轴对称图形；

（2）垂径定理（在复述内容基础上突出二个条件，三个结论，及三种语言的相互转换）

2、垂径定理的应用：

（1）解决有关弦、弧、半径等问题的计算、证明（和作图）；

（2）解决某些实际问题（如引例、拱桥等）；

——强化应用意识。

3、常用的辅助线：

（1）作半径；（2）过圆心作弦的垂线段。

垂径定理与勾股定理相结合，得出r 2=d 2+（

2a

）2

——强化知识综合运用意识

5、布置作业 第84页，11、12题（2）选做题：第85页，2题。