第三章数值积分与数值微分习题3

第三章数值积分与数值微分习题3

第三章 数值积分与数值微分

习题3 习题33.1 确定下列求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代 确定下列求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高， 数精度的次数。 数精度的次数。

(1 ) ∫

h

h 2h

f ( x )dx ≈ A 0 f ( h ) + A1 f ( 0 ) + A 2 f ( h ), f ( x )dx ≈ A 0 f ( h ) + A1 f ( 0 ) + A 2 f ( h ),

(2)∫

2h 1

( 3 ) ∫ f ( x )dx ≈ A 0 f ( 0 ) + A1 f ( 1 ) + A 2 f ' ( 0 )。0

3.2 证明求积公式 x1 h h2 f ( x )dx ≈ [ f ( x 0 ) + f ( x 1 )] [ f ' ( x 1 ) + f ' ( x 0 )] ∫x0 2 2 具有3次代数精度， 具有 次代数精度，其中 次代数精度

h = x1 x0。

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第三章 数值积分与数值微分

3.3 用Simpson公式计算积分 公式计算积分 3.4 给定数据表 x f(x) 1.8 3.12014 2.0 4.42569

∫

1 0

e x dx ,并估计误差。 并估计误差。

2.2 6.04241

2.4 8.030142 .6

2.6 10.46675

分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分 ∫ 1 . 8 f ( x ) dx 的 公式计算积分 分别用复化梯形公式和复化 近似值。 近似值。 3.5 使用复化梯形公式和复化 使用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积 公式计算积 3 x 要求误差不超过10 不计舍入误差， 分 ∫1 e sin xdx ,要求误差不超过 -4,不计舍入误差，问各需计 算多少个节点上的函数值。 算多少个节点上的函数值。 3.6 设f(x)在[a,b]上可积，证明当 n → ∞ 时，复化 上可积， 复化Simpson 在 上可积 公式趋于所计算的积分值。 公式趋于所计算的积分值。

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第三章 数值积分与数值微分

3.8 用Romberg方法计算积分 方法计算积分 差不超过10 差不超过 -5。

2

π

∫

1 0

e x dx ,要求误

3.9 用两点 用两点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分 求积公式计算积分 的近似值。 的近似值。 3.10 用三点公式求f (x) = 1 (1 + x ) 2

∫

1 1

1 x

2 2

1 x

dx

在 x = 1 . 0 ,1 . 1 和 1 . 2

处的导数值，并估计误差。f(x)的值由下表给出： 的值由下表给出： 处的导数值，并估计误差。 的值由下表给出 x f(x) 1.0 0.2500 1.1 0.2268 1.2 0.2066

3.11 给定 f ( x ) = x 在节点 x k = 100 + kh ( h = 1 , k = 0 ,1 , 2 , 3 ) ' ' 上的函数值和两个端点的导数值 f ( 100 ) 和 f ( 103 ) 。用三次样 条求导法， 的近似值。 条求导法，计算 f ' (101), f ' (101.5), f ' (102), f '' (101.5) 的近似值。