弹塑性力学-7 柱体的扭转

Chapter 9

柱体的扭转

9-1、等截面杆扭转的基本解法1、问题的提出： 柱体的扭转问题在航空土建机机械工程重视常见的。 典型的应用是在机械的传动机构中轴的扭转问题。 扭转：是指圆柱体或棱柱体只在端部是一对大小相等 方向相反的力偶作用，力偶矢量与柱体轴线指的方向 相重合。 1

2、 圆轴的弹性扭转

(1)应力分量：

Mr t Ip

M or

xt

y4

R oy r

Ip

R2

x

b

tzy

xttzx

My t zx t sin b Ip

z

y

Mx t zy t cos b Ip

x y z t xy 02

t zx

My Ip

t zy

Mx Ip

x y z t xy 0M or

xt

平衡微分方程 y x t yx t zx 0 x y z

R oy r

x

b

tzy

xttzx

t xy x

y y

t zy z

0

t xz t yz z 0 x y z

z

y

满足 3

t zx

My Ip

t zy

Mx Ip

x y z t xy 0M or

应力边界条件：l x m t yx nt zx Fx lt xy m y nt zy F y lt xz m t yz n z Fz

xt

y oy

Rr

x

b

tzy

xt tzx

侧面：

x y l ,m ,n 0 R RFx 0, Fy 0, Fz 0

z

y

满足4

t zx

My Ip

t zy

Mx Ip

x y z t xy 0M or

应力边界条件：l x m t yx nt zx Fx lt xy m y nt zy F y lt xz m t yz n z Fz

xt

y oy

Rr

Mx

b

tzy

xt tzx

Fx

端面：

l 0, m 0, n 1

Fx t zx , Fy t zy , Fz 0

z

y

Fy

根据圣维南原理

F dA 0, F dA 0, ( yFx y A A A

x

xFy )dA M

用应力表示的相容方程： 2 (1 ) x 0 2 x 2 2 (1 ) y 0 2 y 2 2 (1 ) z 0 2 z 2 2 (1 ) t xy 0 x y 2 (1 ) 2t yz 0 y z2

弹性解： x y z t xy 0Mx t zy Ip

t zx

(1 ) t zx2

2 0 z x

My Ip

2 2 2 2 2 2 x y z2

x y z t xy 0

t zy

Mx Ip

t zx

My Ip

2. 应变分量： 1 x x y z E 1 y y z x E 1 z z x y E

xy yz

t xyG

2(1 ) t xy E 2(1 ) t yz E

t yzG

zx

t zxG

2(1 ) t zx E

y 0 z 0 0 xy t zy Mx zy G GI p t zx My zx G GI p7

x 0

3. 位移分量： x y z xy v y w z

u x

x 0 y 0

u f1 ( y , z ) v f 2 ( z, x)w f

3 ( x, y )

z 0 xy 0 zyMx GI pMy GI p

v u x y w v y z u w z x

yz

f 2 ( z , x ) f 1 ( y , z ) 0 x y f 3 ( x , y ) f 2 ( z , x ) Mx y z GI p f 1 ( y , z ) f 3 ( x , y ) My z x GI p

zx

zx

f 2 ( z , x ) f 1 ( y , z ) 0 x y f 3 ( x , y ) f 2 ( z , x ) Mx y z GI p f 1 ( y , z ) f 3 ( x , y ) My z x GI p

2 f 3 ( x, y) 0 2 y

2 f 3 ( x, y) 0 2 xa1 b2 (a3 b3 ) z 0Mx b1 c 2 ( b3 c 3 ) x GI p My c1 a 2 (c3 a 3 ) y GI p M c1 a 2 0, c3 a 3 GI p

f 3 ( x , y ) c0 c1 x c2 y c3 xy f 2 ( z , x ) b0 b1 z b2 x b3 zx f1 ( y, z ) a0 a1 y a2 z a3 yz a1 b2 0, a3 b3 0 M b1 c 2 0, b3 c 3 GI p

应用弹塑性力学

APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS

a1 b2

b1 c2M a3 GI p

a2 c1b3 M GI p

c3 0

有

M u f1 ( y , z ) a0 b2 y c1 z GI yz p

v f 2 ( z , x ) b0 c2 z b2 x

M GI p

zx

w f 3 ( x , y ) c0 c1 x c2 y

a1 b2 0, a3 b3 0 M b1 c 2 0, b3 c 3 GI p

M c1 a 2 0, c3 a 3 GI p

应用弹塑性力学

APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS

a1 b2

b1 c2M a3 GI p

a2 c1b3 M GI p

c3 0

M u f1 ( y , z ) a0 b2 y c1 z GI yz p

v f 2 ( z , x ) b0 c2 z b2 x

M GI p

zx

w f 3 ( x , y ) c0 c1 x c2 y

令

a0 u0 , b0 v0 , c0 w0 , b2 z , c1 y , c2 xM u u0 z y y z GI yz p M v v0 x z z x GI p zx w w x y 0 y x

位移分量：

应用弹塑性力学

APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS

M u u0 z y y z GI yz p M v v z x zx 0 x z GI p w w x y 0 y x

M o

xt

r

y z

(1)坐标原点固定：

u0 v0 w0 0

(2)原点的单元固定： z y x 0 u v 0 过原点沿 z 向的线段在 xoz、zoy 面内不转动： z z 过原点沿 x 向的线段在 xoy面内不转动： v 0 x 即刚体位移为零。M u GI p yz 位移分量： M v GI p zx w 0

M GI p

单位长度的 相对扭转角

u yz v zx w 0 12

应用弹塑性力学

APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS

u yz v zx w 0

z

M GI po y

z x

任一 z 截面上，

zx r cos y r sin

u

x r y A

x

Mr u r rz z GI p

y u

ur 0

v 13

应用弹塑性力学

APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS

9-2 非圆截面杆件的弹性扭转一、应力分量

x y z t xy 0

M o y

x oy x

t zy 0

t zx 0

平衡微分方程 x t yx t zx 0 x y z

r

b

tzy

x

t xy x

y y

t zy z

0

t xz t yz z 0 x y z

tzx t zx 0 z z y t zy 0 t zx t zx ( x , y ) t zy t zy ( x , z ( t zy ) t zx t zy t zx 0 t zx x y x y y

y)

( x, y):扭转应力函数(Prandtl) 存在 ( x, y )

t zy

x

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