圆锥曲线解题技巧和方法综合(3)

1 y x m 222

x 2mx 2m 4 0 由 2

2

x y 1 2 8

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

(2m)2 4(2m2 4) 0,解得 2 m 2,且m 0

（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1 x2 2m,x1x2 2m 4

2

则k1

y1 1y 1

,k2 2 x1 2x2 2

2

由x2 2mx 2m 4 0可得

x1 x2 2m,x1x2 2m2 4

而k1 k2

y1 1y2 1(y1 1) (x2 2) (y2 1)(x1 2)

x1 2x2 2(x1 2)(x2 2)

11

(x1 m 1)(x2 2) (x2 m 1)(x1 2)

(x1 2)(x2 2)

x1x2 (m 2)(x1 x2) 4(m 1)

(x1 2)(x2 2)

2m2 4 (m 2)( 2m) 4(m 1)

(x1 2)(x2 2)2m2 4 2m2 4m 4m 4 0

(x1 2)(x2 2) k1 k2 0

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形 k1 k2 0

x2y223

例10、已知双曲线2 2 1的离心率e ，过A(a,0),B(0, b)的直线到原点的距

3ab

离是

. 2

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y kx 5(k 0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 思维流程： 解：∵（1）

c23 ,a3

原点到直线

AB：x y 1的距离

a

b

d

aba2 b2

3.

ab

c3.2.

b 1,a

2

故所求双曲线方程为 x y2 1.

3

（2）把y kx 5代入x2 3y2 3中消去y，整理得 (1 3k2)x2 30kx 78 0. 设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则

x0 kBE

x1 x215k5

y kx 5 ,00

21 3k21 3k2 y 11 0 .

x0k

x0 ky0 k 0,

15k5k2 k 0,又k 0, k 7 即22

1 3k1 3k

故所求k=±.

点石成金: C，D都在以B为圆心的圆上 BC=BD BE⊥CD;

例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为

直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

思维流程：

x2y2解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为2 2 1(a b 0)，

ab

由已知得：a c 3，a c 1，

x2y2

1． 椭圆的标准方程为

222

43 b a c 3

（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

a 2，c 1，

y kx m，

联立 x2y2

1. 3 4

得 (3 4k)x 8mkx 4(m 3) 0，则

64m2k2 16(3 4k2)(m2 3) 0，即3 4k2 m2 0， 8mk

， x1 x2

3 4k2

4(m2 3)xx . 12

3 4k2

222

3(m2 4k2)又y1y2 (kx1 m)(kx2 m) kx1x2 mk(x1 x2) m ．

3 4k2

2

2

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，

kADkBD 1，即

y1y2

1. x1 2x2 2

y1y2 x1x2 2(x1 x2) 4 0．

3(m2 4k2)4(m2 3)15mk 4 0． 7m2 16mk 4k2 0． 222

3 4k3 4k3 4k

解得：m1 2k，m2

2k22

，且均满足3 4k m 0． 7

当m1 2k时，l的方程y k(x 2)，直线过点(2，0)，与已知矛盾； 当m2

2k2 2

时，l的方程为y k x ，直线过定点 ，0 ．

7 7 7

2 7

所以，直线l过定点，定点坐标为 ，0 ．

点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA⊥CB;

x2y2

例12、已知双曲线2 2 1(a 0,b 0)的左右两个焦点分别为F1、F2,点P在双曲线右

ab

支上.

（Ⅰ）若当点P的坐标为(

34116

,)时,PF1 PF2,求双曲线的方程； 55

（Ⅱ）若|PF1| 3|PF2|,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程：

解：（Ⅰ）(法一)由题意知,PF1 ( c

3411634116

, ), PF2 (c , ), 555534134116

)(c ) ( )2 0 （1分） PF1 PF2, PF1 PF2 0, ( c 555

解得 c2 25, c 5. 由双曲线定义得: |PF1| |PF2| 2a,