圆锥曲线解题技巧和方法综合(2)

在得到x f k 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x,y的方程（不含k），则可由y k(x 4) 1解得k 迹方程。从而简化消去参的过程。

简解：设A x1,y1 ,B(x2，y2),Q(x,y)，则由

y 1

，直接代入x f k 即可得到轨x 4

4 x1x x1APAQ

可得：，

x2 4x2 xPBQB

解之得：x

4(x1 x2) 2x1x2

（1）

8 (x1 x2)

设直线AB的方程为：y k(x 4) 1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于 x的一元二次方程：

2k

2

1x2 4k(1 4k)x 2(1 4k)2 8 0 （2）

4k(4k 1)

x x ,12

∴ 2k2 1

2

xx 2(1 4k) 8.12 2k2 1

代入（1），化简得：x 4k 3. (3)

k 2与y k(x 4) 1联立，消去k得： 2x y 4 (x 4) 0. 在（2）中，由 64k 64k 24 0，解得

2

2 2 k 44

，结合（3）可求得

16 216 2

x .99

故知点Q的轨迹方程为：2x y 4 0 （16 2 x 16 2）.

99

点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.

6、求根公式法

APx2y2

例5设直线l过点P（0，3），和椭圆的取 1顺次交于A、B两点，试求

PB94

值范围.

分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP= xA，但从此后却一筹莫展, 问题的根

PBxB

源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

分析1: 从第一条想法入手，

APx

= A已经是一个关系式，但由于有两个变量PBxB

xA,xB，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜

率k. 问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

简解1：当直线l垂直于x轴时，可求得

AP1

; PB5

当l与x轴不垂直时，设A x1,y1 ,B(x2，y2)，直线l的方程为：y kx 3，代入椭圆方程，消去y得9k 4x 54kx 45 0

2

2

解之得 x1,2

27k 69k2 5

. 2

9k 4

因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k 0的情形.

2

27k 69k2 5 27k 6k 5， 当k 0时，x1 ，x2 2

9k 49k2 4

x1 9k 29k2 5AP18k18 =所以 =1 =1

PBx29k 29k2 59k 29k2 59 2 2

由 ( 54k) 1809k 4 0, 解得 k

2

2

. k2

5， 9

所以 1 1

189 29 2

1 ， 5

综上 1

AP1

. PB5

分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根

源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于

xAP

1不是关于x1,x2的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有PBx2

了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.

简解2：设直线l的方程为：y kx 3，代入椭圆方程，消去y得

9k

则

2

4x2 54kx 45 0 （*）

54k

x x ,2 19k2 4

xx 45.12 9k2 4

令

x1

k2 ，则， 1 2 324.

x2 45k2 20

2

在（*）中，由判别式 0,可得 k

5

， 9

136324k236

从而有 4 ，所以 ，解得 4 2 2

545k 2051

5. 5

1

1. 5AP1

综上， 1 .

PB5

结合0 1得

点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.

解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会

被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.

第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。

例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且

1，

1．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为 PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。 思维流程：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解题过程：

x2y2

（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为2 2 1(a b 0),则c 1

ab

又∵ 1即

(a c) (a c) 1 a2 c2，∴a2 2

x2

y2 1 故椭圆方程为2

（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为 PQM的垂心，则

设P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵M(0,1),F(1,0)，故kPQ 1， 于是设直线l为

y x m22

得，3x 4mx 2m 2 0 y x m，由 22

x 2y 2

∵MP FQ 0 x1(x2 1) y2(y1 1) 又yi xi m(i 1,2)

得x1(x2

1) (x2 m)(x1 m 1) 0 即

2x1x2 (x1 x2)(m 1) m2 m 0 由韦达定理得

2m2 24m2 (m 1) m2 m 0

33

解得m

44

或m 1（舍） 经检验m 符合条件．

33

点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．

例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A( 2,0)、B(2,0)、

3

C 1, 三点． 2

（Ⅰ）求椭圆E的方程：

（Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F( 1,0),H(1,0)，当ΔDFH内切圆的面积最大时，求ΔDFH内心的坐标；

思维流程：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为mx ny 1 m 0,n 0 ，将A( 2,0)、B(2,0)、

2

2

3

C(1,)代入椭圆E的方程，得

2

4m 1,

x2y211

解得m ,n .∴椭圆E的方程 1 ． 9

4343m n 1 4

（Ⅱ）|FH| 2，设ΔDFH边上的高为S DFH

1

2 h h 2

当点D在椭圆的上顶点时，hS DFH 设ΔDFH的内切圆的半径为R，因为ΔDFH的周长为定值6．所以，S DFH 所以R1

R 6 2

．所以内切圆圆心的坐标为.

点石成金：S 的内切圆

1

的周长 r 的内切圆 2

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