圆锥曲线解题技巧和方法综合

圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备： 1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率k tan , [0, )

②点到直线的距离d （3）弦长公式

直线y kx b上两点A(x1,y1),B(x2,y

2)间的距离：AB 1

x2

③夹角公式：tan

k2 k11 k2k1

或AB （4）两条直线的位置关系

1 y2 ①l1 l2 k1k2=-1 ② l1//l2 k1 k2且b1 b2 2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

x2y2

1(m 0,n 0且m n) 标准方程：

mn

2a

参数方程：x acos ,y bsin (2)、双曲线的方程的形式有两种

x2y2

标准方程： 1(m n 0)

mn

距离式方程： 2a

(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

2b22b2

2p ；抛物线：

aa

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

x2y2

如：已知F1、F2是椭圆平面内一个动点M满足MF1 MF2 2 1的两个焦点，

43

则动点M的轨迹是（ ）

A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，S F1PF2 b2tan

2

P在双曲线上时，S F1PF2 b2cot

2

|PF1|2 |PF2|2 4c2

,PF1 PF2 |PF1||PF2|cos ） （其中 F1PF2 ,cos

|PF1| |PF2|

(6)、记住焦半径公式：（1）椭圆焦点在x轴上时为a ex0;焦点在y轴上时为a ey0，

可简记为“左加右减，上加下减”。

（2）双曲线焦点在x轴上时为e|x0| a （3）抛物线焦点在x轴上时为|x1|

pp

,焦点在y轴上时为|y1| 22

(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备

1、点差法（中点弦问题） 设

A x1,y1

2

2

x2y2

、B x2,y2 ，M a,b 为椭圆 1的弦AB中点则有

43

2

2

x1yxyx x2

1 1，2 2 1；两式相减得1

43443

22

y

3a

4b

2

1

y23

2

0

x1 x2 x1 x2

4

y1 y2 y1 y2

3

kAB=

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果

有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判

别式 0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元〃〃〃〃〃〃，若有两个字

母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y kx b，就意味着k存在。

例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x 5y 80上，且点A是椭圆短轴的一个

2

2

端点（点A在y轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程; （2）若角A为90，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.

分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为90可得出AB⊥AC，从而得 x1x2 y1y2 14(y1 y2) 16 0，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：（1）设B（x1,y1）,C(x2,y2

22

x12y12x2y2

),BC中点为(x0,y0),F(2,0)则有 1, 1

20162016

两式作差有

(x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2)

0

2016x0y0k

0 (1) 54

F(2,0)为三角形重心，所以由入（1）得k

x1 x2y y2 4

2，得x0 3，由1 0得y0 2，代33

6

5

直线BC的方程为6x 5y 28 0

2)由AB⊥AC得x1x2 y1y2 14(y1 y2) 16 0 （2） 设

直

线

BC

方

程

为

y kx b,代入4x2 5y2 80

，得

(4 5k2)x2 10bkx 5b2 80 0

5b2 80 10kb

，x1x2 x1 x2 2

4 5k24 5k

8k4b2 80k2

y1 y2 ,y1y2 代入（2）式得 22

4 5k4 5k

9b2 32b 164

，解得或 0b 4(舍)b 2

94 5k

4

4 y 4 1，即9y2 9x2 32y 16 0 直线过定点（0， )，设D（x,y），则9xx

1620

所以所求点D的轨迹方程是x2 (y )2 ()2(y 4)。

99

y

4、设而不求法

例2、如图，已知梯形ABCD中AB 2CD，点E分有向线段所成的比为 ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能

23

时，求双曲线离心率e的取34

c

力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设C ,h ，代

2 x2y2x2y2

入2 2 1，求得h ，进而求得xE ,yE ,再代入2 2 1，建立目标abab

函数f(a,b,c, ) 0，整理f(e, ) 0，此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略,

建立目标函数f(a,b,c, ) 0，整理f(e, ) 0,化繁为简.

解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于

y轴对称

1 c

依题意，记A c, 0 ，C ,h ，E x0, y0 ，其中c |AB|为双曲线的半

2 2

焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得

c

c

2 c， y h x0 01 2 11 x2y2c

设双曲线的方程为2 2 1，则离心率e

aab

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e

c

代入双曲线方程得 a

e2h2

2 1， ①

4b

e2

4

2 h 2 1 ② 1 1 b

2

h2e2

由①式得 2 1， ③

4b

将③式代入②式，整理得

e2

4 4 1 2 ，

4

3

故 1 2

e 123323

由题设 得， 1 2

334e 24

解得

e

所以双曲线的离心率的取值范围为

,

分析：考虑AE,AC为焦半径,可用焦半径公式, AE,AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算, 达到设而不求的解题策略．

解法二：建系同解法一，AE a exE ,AC a exC，

c

c 2 cAE 3 xE ，又，代入整理 1 2，由题设

AC1 e 11 2 123323

得， 1 2

334e 24

解得

e

所以双曲线的离心率的取值范围为5、判别式法

,

22

例3已知双曲线C:y x 1，直线l过点A

22

,0，斜率为k，当0 k 1时，双曲

线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时点B的坐标。

分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题 …… 此处隐藏：2574字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……