矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案(3)

2,233

u div(grad u) 6z 24xy 2z3 6y2z.

13.试证矢量场A 2yi 2xj为平面调和场，并且： （1）求出场的力函数u和势函数v；

（2）画出场的力线和等势线的示意图。 证：记P 2y,Q 2x,则有div A

P Q 0 0 0, x y

rot A (

Q P

-)k 0k 0,故A为平面调和场。

x y

（1）由公式，并取其中(x0,y0) (0,0)，则 势函数v

x

x

P(x,0)dx Q(x,y)dy C

y0

y

x

0dx 2xdy C 2xy C,

力函数u

Q(x,0)dx P(x,y)dy C0

y0

y

x

2xdx 2ydy C x2 y2 C0.

（2）分别令u与v等于常数，就得到 力线方程：x2 y2 C1 ，

等势线方程：xy C2 二者均为双曲线族，但对称轴相差

角。如上图所示。 4

14.已知平面调和场的力函数u x2 y2 xy ，求场的势函数v及场矢量A. 解：力函数u与势函数v之间满足以下关系：

u v,u

x

y

y

vx

由

vy ux 2x y,有v (2x y)dy 2xy

12

y (x), 2

由此

v

x

2y '(x)，又vx uy 2y x,与前式相比可知 '(x) x,

121

x C,故势函数v 2xy (y2 x2) C. 22

所以 (x)

于是。场矢量A grad v (x 2y)i (2x y)j. 习题 八

2． 计算下列曲线坐标系中的拉梅系数。

（1） 曲线坐标( , ,z)，它与直角坐标(x,y,z)的关系是：

x ach cos ,y ash sin ,z z(a 0);

（2）曲线坐标( , ,z)，它与直角坐标(x,y,z)的关系是：

x a cos ,y b sin ,z z(a,b 0,a b).

解：（1）因曲线坐标系( , ,z)是正交的，根据x ach cos ,y ash sin ,z z(a 0) 有dx ash cos d ach sin d ,

dy ach sin d ash cos d ,dz dz.于是

dx2 dy2 dz2 a2(sh2 cos2 ch2 sin2 )(d 2 d 2) dz2

a2(ch2 cos2 )(d 2 d 2) dz2，故拉梅系数为：

H2 H ach2 cos2 (Hz 1)，（或） ash2 sin 。

（2）因曲线坐标系( , ,z)不是正交的，故不能用上面的方法来求。 根据x a cos ,y b sin ,z z,按定义有

H2x )2 ( y )2 ( z

(

)2 a2cos2 b2sin2 , H2 x2 ( )2 ( y )2 ( z

)2 a2 2sin2 b2 cos2 , H2 x2 y z

z (

z) ( z)2 ( z

)2 1,由此得拉梅系数为： H2 acos2 b2sin2 ,H a2sin2 b2cos2 ,Hz 1.