矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案

习题1 解答

1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

1 x acost,y bsint 2

x 3sint,y 4sint,z 3cost

解： 1 r acosti bsintj，其图形是xOy平面上之椭圆。

2 r 3sinti 4sintj 3costk，其图形是平面4x 3y 0与圆柱面

2

x2 z2 3之交线，为一椭圆。

2．设有定圆O与动圆c，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M

所描曲线的矢量方程。

解：设M点的矢径为OM r xi yj， AOC ，CM与x轴的夹角为

2 ；因OM OC CM有

r xi yj 2acos i 2asin j acos 2 i asin 2 j

则

x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 .

故r (2acos acos2 )i (2asin asin2 )j

2

4．求曲线x t,y t,z

23

t的一个切向单位矢量 。 3

2

解：曲线的矢量方程为r ti tj

23

tk 3

dr2

i 2tj 2tk 则其切向矢量为dt

模为|

dr

| 4t2 4t4 1 2t2 dt

drdri 2tj 2t2k

/|| 于是切向单位矢量为dtdt1 2t2

2

6．求曲线x asint,y asin2t,z acost,在t

4

处的一个切向矢量。

解：曲线矢量方程为 r

asin2ti asin2tj

acostk

切向矢量为

dr

asin2ti 2acos2tj asintk dt

drdt

t

在t

4

处，

4

ai a

k 7.求曲线x t2 1,y 4t 3,z 2t2 6t 在对应于t 2 的点M处的切线方程和法平面方程。

解：由题意得M(5,5, 4),曲线矢量方程为r在t 2的点M处，切向矢量

(t2 1)i (4t 3)j (2t2 6t)k,

drdt

[2ti 4j (4t 6)k]t 2 4i 4j 2k

t 2

于是切线方程为

x 5y 5z 4x 5y 5z 4

,即

442221

于是法平面方程为2(x 5) 2(y 5) (z 4) 0，即 2x 2y z 16 0

8．求曲线r ti t2j t3k上的这样的点，使该点的切线平行于平面x 2y z 4。 解：曲线切向矢量为

dr

i 2tj 3t2k， ⑴ dt

平面的法矢量为n i 2j k，由题知

n i 2tj 3t2k i 2j k 1 4t 3t2 0

得t 1,

1

。将此依次代入⑴式，得3

1 3

|t 1 i j k, |

故所求点为 1,1 1 ,

t

111i j k3927

1 11

,, 3927

习题2 解答

1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。

1 u

1

;

Ax By Cz D

2

u arc

解： 1 场所在的空间区域是除Ax By Cz D 0外的空间。 等值面为

11

，这是与平 C1或Ax By Cz D 0（C1 0为任意常数）

Ax By Cz DC1

面Ax By Cz D 0平行的空间。

2 场所在的空间区域是除原点以外的z2 x2 y2的点所组成的空间部分。等值面为z2 (x2 y2)sin2c,(x2 y2 0)，

当sinc 0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）； 当sinc 0时，是除原点外的xOy平面。

2．求数量场u x2 y2

z

经过点M 1,1,2 的等值面方程。

解：经过点M 1,1,2 等值面方程为

x2 y2 12 12

uz 2

1，

即z x2 y2，是除去原点的旋转抛物面。

3．已知数量场u xy，求场中与直线x 2y 4 0相切的等值线方程。 解：设切点为 x0,y0

，等值面方程为xy c x0y0，因相切，则斜率为 k

y0x 1

，即x0 2y0 02

点 x0,y0

在所给直线上，有

x0 2y0 4 0

解之得y0 1,x0 2 故xy 2

4．求矢量A xy2

i x2

yj zy2

k的矢量线方程。

解 矢量线满足的微分方程为

A dr 0，

或

dxdydz

222

xyxyzy

有xdx ydy,

dxdz

. xz

x2 y2 C1,

(C1,C2为任意常数) 解之得

z C2x

5.求矢量场A x2i y2j (x y)zk通过点M(2,1,1)的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为

dxdydz

. 22

(x y)zxy

由

dxdy11

得 C1， 22

xyxy

d(x y)dzd(x y)dz

,即 .解得x y C2z.

x yzx2 y2(x y)z

按等比定理有

11

1 C1,

y故矢量线方程为 x又M(2,1,1)求得C1 ,C2 1

2 x y Cz

2 111

y2. 故所求矢量线方程为 x

x y z

习题3 解答

1．求数量场u xz 2yz在点M 2,0, 1 处沿l 2xi xyj 3zk的方向导

23

2

2

4

数。

解：因l

M

2xi xy2j 3z4k

M

4i 3k，其方向余弦为

cos

43,cos 0,cos . 55

u u u

2xz3 4, 4yz 0, 3x2z2 2y2 12, x y z

在点M(2,0, 1)处有

所以

u43

( 4) 0 0 12 4 l55

2．求数量场u 3x2z xy z2在点M 1, 1,1 处沿曲线x t,y t2,z t3朝t增大一方的方向导数。

解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M所对应的参数为t 1,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为

dxdt

1,

M

dydt

2t

M

t 1

2,

dzdt

3t2

M

t 1

3，

3其方向余弦为cos

1,cos

2,cos

.

又

u x

(6xz y)M 7,

M

u y

xM 1,

M

u z

(3x2 2z)

M

M

5。

于是所求方向导数为

u l

(

M

u u u1 2324cos cos cos ) 7 ( 1) 5 x y zM

3．求数量场u x2yz3在点M 2,1, 1 处沿哪个方向的方向导数最大？

解： 因

u

grad u l0 grad ucos ， l

当 0时，方向导数最大。

grad uM (

u u ui j k) x y zM

M

(2xyz3i x2z3j 3x2yz2k)

4i 4j 12k,

即函数u沿梯度grad uM 4i 4j 12k方向的方向导数最大 最大值为grad u

M

4。

4.画出平面场u

1213

(x y2)中u 0,,1,,2的等值线，并画出场在M1(2,2)与点222

M2(3,7)处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：

（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；

（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u增大的方向。

x2 y2 0,x2 y2 1,

解：所述等值线的方程为：x2 y2 2,x2 y2 3,其中第一个又可以写为

x2 y2 4,

x y 0,x y 0为二直线，其余的都是以Ox轴为实轴的等轴双曲线

（如下图,

图中G1 grad uM,

1

G2 grad uM,）

2

由于grad u xi yj, 故

grad uM 2i 2j,

1

grad uM 3i 7j,

2

由图可见，其图形都符合所论之事实。

5．用以下二法求数量场u xy yz zx在点P 1,2,3 处沿其矢径方向的方向导数。

1 直接应用方向导数公式； 2 作为梯度在该方向上的投影。

解： 1 点P的矢径r i 2j 3k,其模r .其方向余弦为

cos

1,cos

2,cos

3.又

u x

…… 此处隐藏：2749字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……