矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案(2)

下穿出S的通量 。

解：略

4.求下面矢量场A的散度。

（1）A (x yz)i (y xz)j (z xy)k; （2）A (2z 3y)i (3x z)j (y 2x)k;

3

2

3

（3）A (1 ysinx)i (xcosy y)j. 解：（1）div A 3x2 2y 3z2 （2）div A 0

（3）div A ycosx xsiny 1

5.求div A在给定点处的值：（1）A x3i y3j z3k在点M(1,0, 1)处； （2）A 4xi 2xyj z2k在点M(1,1,3)处； （3）A xyzr(r xi yj zk)在点M(1,3,2)处； 解：（1）div AM (3x 3y 3z)（2）div AM (4 2x 2z)M 8

（3）div A xyzdiv r grad(xyz) r 3xyz (yzi xzj xyk) (xi yj zk)

2

2

2

M

6

6xyz， 故div AM 6xyzM 36。

6.已知u xy2z3,A x2i xzj 2yzk,求div (uA)。 解：div A 2x 2y

grad u y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k

故div (uA) udiv A grad u A

xyz(2x 2y) (yzi 2xyzj 3xyzk)(xi xzj 2yzk) 2xyz 2xyz xyz 2xyz 6xyz 3xyz 8xyz 2xyz. 7．求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量 ： （1）A xi yj zk,S为球面x y z a;

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

2

3

3

2

4

2

2

3

2

3

3

2

2

3

2

4

3

3

2

3

2

3

3

2

2

2

x2y2z2

（2）A (x y z)i (y z x)j (z x y)k,S2 2 2 1.

abc

解：（1） A dS div AdV

s

222

3(x y z)dV

其中 为S所围之球域x2 y2 z2 a2今用极坐标

x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos 计算，有

3 r rsin drd d 3

22

2

125

d sin d rdr a

005

a4

（2）

4

3dV 3 abc 4 abc。 A dS div AdV 3 S

习题五

1． 求一质点在力场F yi zj xk的作用下沿闭曲线l:x acost,y asint,

z a(1 cost)从t 0到t 2 运动一周时所做的功。

解：功W

F dl ydx zdy xdz

l

l

a

2 02

2

sin2t a2(1 cost)cost a2costsintdt

a

2

(1 cost costsint)dt 2 a2

2.求矢量场A yi xj Ck(C为常数)沿下列曲线的环量： （1）圆周x2 y2 R2,z 0； （2）圆周(x 2)2 y2 R2,z 0。

解：（1）令x Rcos ，则圆周x2 y2 R2,z 0的方程成为

x Rcos ,y Rsin ,z 0，于是环量

A dl ydx xdy Cdz (Rsin Rcos )d 2 R.

l

l

222

（2）令x 2 Rcos ，则圆周(x 2) y R,z 0的方程成为

2

222

2

x Rcos 2,y Rsin ,z 0，于是环量

A dl ydx xdy Cdz

l

l

2

[R2sin2 (Rcos 2)Rcos ]d

(R2 2Rcos )d 2 R2

2

3.用以下两种方法求矢量场A x(z y)i y(x z)j z(y x)k在点M（1,2,3）处沿方向n i 2j 2k的环量面密度。 （1）直接应用环量面密度的计算公式； （2）作为旋度在该方向上的投影。 解：（1）n

n122122

i j k,故n的方向余弦为cos ,cos ,cos . n333333

又P x(z y),Q y(x z),R z(y x)根据公式，环量面密度

n

M

[(Ry Qz)cos (Pz Rx)cos (Qx Py)cos ]M 12258619

[(z y) (x z) (x y)]M

3333333

(2)rot AM [(z y)i (x z)j (x y)k]M 5i 4j 3k,于是

n

M

122 rot AM n0 (5i 4j 3k) (i j k)

33358619

3333

4．用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。 （1）A (3x2y z)i (y3 xz2)j 2xyzk; （2）A yz2i zx2j xy2k; （3）A P(x)i Q(y)j R(z)k.

6xy

解：（1）DA z2

2yz

3x23y22xz

1

2 div A 6xy 3y 2xz ,故有

2xy

2xy (8x 3y)y,

22

4xzi (1 2yz)j (z 3x)k. rot A

0z22yz

（2）DA 2xz0x2 ,故有div A 0 0 0 0,

y22xy0

rot A x(2y x)i y(2z y)j z(2x z)k.

P'(x)00

（3）DA 0Q'(y)0 ,故有div A P'(x) Q'(y) R'(z).

' 0 0R(z)

rot A 0。

5.已知u exyz,A z2i x2j y2k,求rot uA. 解：rot uA u rotA grad u A,

02z 0

xyz

DA 2x00 ,有rot A 2yi 2zj 2xk,u rotA e(2yi 2zj 2xk),

02y0

grad u exyz(yzi xzj xyk),grad u A

i exyzyzz2

jxzx2

k

xy exyz[(xy2z x3y)i (xyz2 y3z)j (x2yz xz3)k], y2

rot uA exyz[(2y xy2z x3y)i (2z xyz2 y3z)j (2x x2yz xz3)k]

6.已知A 3yi 2z2j xyk,B x2i 4k,求rot (A B).

i

解：A B 3y

j2z20

k

xy 8z2i (x3y 12y)j 2x2z2k. 4

16z

x3 120 , 0 4x2z

2

2

2

x2

0

D(A B) 3x2y

4xz2

故有rot (A B) 0i (4xz 16z)j 3xyk 4z(xz 4)j 3xyk. 习题

六

1.证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。 （1）A ycosxyi xcosxyj sinzk;

（2）A (2xcosy ysinx)i (2ycosx xsiny)j. 解：（1）记P ycosxy,Q xcosxy,R sinz.

2

2

i

则rot A

xPj yQ

x

k

0i 0j [(cosxy xysinxy) (cosxy xysinxy)]k 0 zR

y

z

所以A为有势场。下面用两种方法求势函数v：

10公式法：v P(x,0,0)dx Q(x,y,0)dy R(x,y,z)dz C1

x

0dx xcosxydy sinzdz C1

yz

0 sinxy cosz 1 C1 cosz sinxy C.

20不定积分法：因势函数v满足A grad v，即有

vx ycosxy,vy xcosxy,vz sinz,

将第一个方程对x积分，得v sinxy (y,z),

对y求导，得vy xcosxy y(y,z)，与第二个方程比较，知

'

'y(y,z) 0,于是 (y,z) (z),从而v sinxy (z).

再对z求导，得vz (z),与第三个方程比较，知 '(z) sinz，故 (z) cosz C. 所以v cosz sinxy C.

（2）记P 2xcosy y2sinx,Q 2ycosx x2siny,R 0. 则

'

i

rot A

xPj yQ

x

k

0i 0j [( 2ysinx 2xsiny) ( 2xsiny 2ysinx)]k 0 zR

y

z

所以A为有势场。下面用两种方法求势函数v：

1公式法：v P(x,0,0)dx Q(x,y,0)dy R(x,y,z)dz C

000

2

2xdx (2ycosx xsiny)dy 0dz C

xyz

x ycosx xcosy x C ycosx xcosy C.

222222

20不定积分法：因势函数v满足A grad v，即有

vx 2xcosy y2sinx,vy 2ycosx x2siny,vz 0,

将第一个方程对x积分，得v x2cosy y2cosx (y,z),

对y求导，得vy xsiny 2ycosx y(y,z)，与第二个方程比较，知

2

'

'y(y,z) 0,于是 (y,z) (z), …… 此处隐藏：3048字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……