2006年四川高考理科数学试题与答案详细讲解(3)

20．本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分。

解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列

前n 项和()211212

n n S n n ++-=?=，2ln ln 2ln n S n n == ()()2ln1ln 2ln 2ln !n U n n =++

+= （Ⅱ）()()()()

222222!22!2!n U n n n n n e x F x x x n n n n n =?=?= ()'21n n F x x -= ()()()()()

()()22'21112210111111n n n k n k k k n x x x x T x F x x n x x x x x -==?-?<<-??====??-?>?-?

∑∑

. . . .

专业资料

()()()()()

222122

21lim 1011lim lim 11111lim 11n n n n n n n n n n x

x x T x n x T x n x x x x +→∞→∞→∞+→∞???-?=<<?-?

?===?+?

???

- ??

???>???- ?????

21．本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。 解：由双曲线的定义可知，曲线E 是以()()122,0,2,0F F -为焦点的双曲线的左支，

且2,1c a ==，易知1b =

故曲线E 的方程为()2210x y x -=<

设()()1122,,,A x y B x y ，由题意建立方程组22

1

1

y kx x y =-??-=? 消去y ，得()221220k x kx -+-= 又已知直线与双曲线左支交于两点,A B ，有

()()222

12

212210281020

1201k k k k x x k x x k ?-≠??=+->???-?+=<?-?-?=>?-?

解得21k -<<- 又∵ 2121AB k x x =+?-()

2

2121214k x x x x =+?

+-

2

222221411k k k k --??

=+?-? ?--??

()()()

2

2

2

21221k k k +-=-

依题意得 ()()()

2

2

2

2122

631k k k +-=- 整理后得 42

2855250k k -+=

. . . .

专业资料

∴257k =

或25

4

k = 但21k -<<- ∴52k =-

故直线AB 的方程为

5

102

x y ++= 设(),c c C x y ，由已知OA OB mOC +=，得()()()1122,,,c c x y x y mx my +=

∴()1212,,c c x x y y mx my m

m ++??

= ???，()0m ≠

又1222451

k x x k +==--，()212122222

22811k y y k x x k k +=+-=-==--

∴点458,C m

m ??- ? ?

??

将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得

2

28064

1m m

-= 得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴4m =，C 点的坐标为()

5,2-

C 到AB 的距离为

()

2

25

5212

13

512?-++=??+ ???

∴ABC ?的面积11

63323

S =??=

22．本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力，满分14分。

证明：（Ⅰ）由()22

ln f x x a x x

=++

得

()()()()1222121212111ln ln 222

f x f x a

x x x x x x +??=+++++ ???

()2

212121212

1ln 2x x x x a x x x x +=

+++ 2

12121212

4

ln 222x x x x x x f a x x +++????=++ ? ?

+????

. . . .

专业资料

而()()2

2222212121212112242x x x x x x x x +????+>++= ?????

① 又()()2

221212121224x x x x x x x x +=++>

∴

121212

4

x x x x x x +>+ ② ∵12122x x x x +<

∴1212ln ln 2

x x

x x +< ∵0a ≤ ∴1212ln ln 2

x x a x x a +< ③ 由①、②、③得

()2

2212121212121212

14ln ln 22x x x x x x a x x a x x x x x x ++??

+++>++ ?+?? 即

()()121222f x f x x x f ++??

> ???

（Ⅱ）证法一：由()22ln f x x a x x =++，得()'222a

f x x x x

=-+ ∴

()()''12122211222222a a f x f x x x x x x x ????-=-+--+ ? ??

???()121222

121222x x a x x x x x x +=-?+- ()()()12''121222

1212

221x x a f x f x x x x x x x +->-?+

-> 下面证明对任意两个不相等的正数12,x x ,有

()1222

1212

221x x a

x x x x ++

->恒成立 即证()

121212

2x x a x x x x +<+成立 ∵()1212121212

24

x x x x x x x x x x ++

>+

设()()2124,0t x x u x t t t

==+

>，则()'24

2u x t t =-

令()'0u x =得32t =，列表如下：

. . . .

专业资料

t ()3

0,2

3

2

(

)

3

2,+∞ ()'u t

_

0 +

()u t

极小值334

()33341084u t a ≥=>≥ ∴()

121212

2x x x x a x x ++

>

∴对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有

()()''1212f x f x x x ->-

证法二：由()22ln f x x a x x =++，得()'222a f x x x x

=-+ ∴

()()

'

'

12122211222222a a f

x f x x x x x x x ????-=-+--+ ? ??

???()1212

22121222x x a x x x x x x +=-?+-

∵12,x x 是两个不相等的正数 ∴()(

)

123

22

12

12

12

12

24

22x x a a

x x x x x x x x ++->+

-(

)

3

12

12

4

42x x x x ≥+-

设12

1

t x x =

，()()322440u t t t t =+-> 则()()'432u t t t =-，列表：

∴38127u => 即 ()12221212221x x a

x x x x ++-> ∴()()()12''121212221212

22x x a

f x f x x x x x x x x x +-==-?+

->-

即对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有()()''1212

f x f x x x ->-欢迎您的光临，Word 文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语；、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好

t 20,3?? ??? 23 2,3??+∞ ??? ()'u t _

0 +

()u t

极小值

38

27