[K12配套]2018年秋高中数学课时分层作业10等差数列的性质新人教A

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配套学习资料K12页脚内容 课时分层作业(十) 等差数列的性质

(建议用时：40分钟)

[学业达标练]

一、选择题

1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

A [由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝2a 5，

又∵a 1＋a 9＝10，即2a 5＝10，

∴a 5＝5.]

2．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )

【导学号：91432156】

A ．－2

B ．－12

C ．2

D.12

C [∵a n ＋1－a n ＝3，

∴{a n }为等差数列，且d ＝3. a 2＋a 4＋a 6＝9＝3a 4，∴a 4＝3，

a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3(a 4＋3d )＝3(3＋3×3)＝36，

∴log 6(a 5＋a 7＋a 9)＝log 636＝2.]

3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( )

A ．5

B ．8

C ．10

D ．14

B [由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8.]

4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( )

【导学号：91432157】

A ．8

B ．4

C ．6

D ．12

A [因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32，所以a 8＝8，即m ＝8.]

5．下列说法中正确的是( )

A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列

B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列

C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列

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配套学习资料K12页脚内容 D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 成等差数列

C [因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ，

所以2b ＋4＝a ＋c ＋4，即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)，

所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．]

二、填空题

6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________.

【导学号：91432158】

－21 [设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，

则?

???? a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，a －d 2＋a 2＋a ＋d 2＝59. 解得????? a ＝3，d ＝4或????? a ＝3，d ＝－4.

∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.

∴它们的积为－21.]

7．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________． 1或2 [∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，

∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.

∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.]

8．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km 高度的气温是－17.5 ℃，则2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为________、________、________.

【导学号：91432159】

2 ℃ －11 ℃ －37 ℃ [用{a n }表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a 1＝8.5，a 5＝－17.5，由a 5＝a 1＋4d ＝8.5＋4d ＝－17.5，

解得d ＝－6.5，∴a n ＝15－6.5n .

∴a 2＝2，a 4＝－11，a 8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.]

三、解答题

9．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．

[解] ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，∴a 4＝5.

又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，

即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，

解得d ＝±2.

若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；

若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .

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配套学习资料K12页脚内容 10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.

【导学号：91432160】

[解] 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，

依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，

即a ＝1，a 2－9d 2

＝－8，

∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.

又四个数成递增等差数列，所以d >0，

∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.

[冲A 挑战练]

1．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )

A ．a 1＋a 101>0

B ．a 2＋a 101<0

C ．a 3＋a 99＝0

D ．a 51＝51 C [根据性质得：a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51，由于a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，所以a 51＝0，又因为a 3＋a 99＝2a 51＝0，故选C.]

2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13

a 11的值为( ) 【导学号：91432161】

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

C [设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，

∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23

a 8＝16.] 3．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，

b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．

43 [n －m ＝3d 1，d 1＝13

(n －m )． 又n －m ＝4d 2，d 2＝14

(n －m )． ∴d 1d 2＝13n －m 14n －m ＝43.] 4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为________升．

6766

[设自上而下各节的容积构成的等差数列为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9.

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配套学习资料K12页脚内容 则????? a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3

，7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4，

解得????? a 1＝1322，d ＝766，故a 5＝a 1＋4d ＝6766

.] 5．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？

【导学号：91432162】

[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n }，c 1＝11，

又等差数列5,8,11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，

等差数列3,7,11，…的通项公式为b n ＝4n －1.

所以数列{c n }为等差数列，且公差d ＝12，①

所以c n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.

又a 100＝302，b 100＝399，c n ＝12n －1≤302，②

得n ≤2514

，可见已知两数列共有25个相同的项．