【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义：第3(2)

1

cos x，－[规范解答] f(x)＝ (3sin x，

cos 2x) 2

3cos xsin x－1

2cos 2x

分)

＝3－1

2x2x ＝sin

π 2x－6 .

分)

(1)f(x)的最小正周期为T＝2π2π

ω2π， 即函数f(x)的最小正周期为π.

分)

(2)∵0≤x≤π

2， ∴－π－π5π6≤2x66

分)

由正弦函数的性质，得

当2x－ππ，即x＝π

6＝23时，f(x)取得最大值1. 当2x－ππ

6＝－6， 即x＝0时，f(0)＝－1

2，

当2x－π＝5ππfπ 1

66，即x＝2时， 2 ＝2，

∴f(x)的最小值为－1

2.

分)

(2

(4

(6

(8

(11

π1

因此，f(x)在 0，2上最大值是1，最小值是－2.

[反思感悟] 求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．如本例中有学生直接把x＝0和π

x＝2

答题模板 求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．

第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．

第三步：求出所求函数的值域(或最值)． 【自主体验】

π π π已知函数f(x)＝cos 2x－3＋2sin x－4sin x＋4.

(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴； ππ

(2)求函数f(x)在区间 －12，2 上的值域．

π π π解 (1)f(x)＝cos 2x－3 ＋2sin x－4sin x＋4

13

＝2cos 2x＋2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x) 13

＝2cos 2x＋2x＋sin2x－cos2x π13

＝2cos 2x＋2x－cos 2x＝sin 2x－6.

2π

∴最小正周期T＝2π，

ππkππ

由2x－6＝kπ＋2k∈Z)，得x＝2＋3(k∈Z)． kππ

∴函数图象的对称轴为x＝23k∈Z)． π π5π ππ(2)∵x∈ －12，2，∴2x－6 －36，

(12分

π 3

∴－2sin 2x－6 ≤1.

3 ππ即函数f(x)在区间 －122上的值域为 －，1

.

2

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2013·青岛质检)下列函数中周期为π且为偶函数的是( )． ππ

A．y＝sin 2x－2 B．y＝cos 2x－2

π π

C．y＝sin x＋2 D．y＝cos x＋2

π

2x－ 解析 y＝sin＝－cos 2x为偶函数，且周期是π. 2 答案 A

π 2π

2．(2014·南昌联考)已知函数f(x)＝sin ωx＋6 －1(ω＞0)的最小正周期为3 f(x)的图象的一条对称轴方程是( )． ππππ

A．x＝9 B．x＝6 C．x＝3 D．x＝2

2π2πππ

解析 依题意得，|ω|＝3，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x＋6kπ＋2，kπππ

解得x＝39k＝0时，x＝9π

因此函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x9. 答案 A

π π

3．(2014·广州测试)若函数y＝cos ωx6 (ω∈N*)的一个对称中心是 60 ，则ω

的最小值为( )． A．1 B．2 C．4 D．8

ππ ππ解析 依题意得cos ω＝0ω＋1)＝kπ＋

62，ω＝6k＋2(其中k∈Z)；又ω 66 是正整数，因此ω的最小值是2. 答案 B

4．(2014·济南调研)已知f(x)＝sin2 x＋sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( )．

π3π π3π

A．π，[0，π] B．2π， －44 C．π， －8，8

ππ

D．2π， －4，4

解析 由f(x)＝sin2x＋sin xcos x 1－cos 2x1

＝2x

2

π12 22 12

＝2＋2x－cos 2x ＝22 2x－4.

2 2 2ππππ

∴T＝＝π.又∵2kπ－2x－2kπ＋

2242

π3π

∴kπ－8≤x≤kπ＋8(k∈Z)为函数的单调递增区间．故选C. 答案 C

π π

5．(2014·三明模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f 6＋x ＝f 6－x ，

π则f 6等于( )．

A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0 π π π π解析 由f 6x ＝f 6x 知，函数图象关于x＝6f 6是函数f(x)的最大值

或最小值． 答案 B 二、填空题

6．函数y＝lg(sin x)＋

cos x－2的定义域为________．

sin x＞0，

解析 要使函数有意义必须有 1

cos x－ 2≥0， sin x＞0，

即 1cos x≥ 2，

2kπ＜x＜π＋2kπ k∈Z ，

解得 ππ

－＋2kπ≤x≤ 32kπ k∈Z ， 3

π

∴2kπ＜x≤3＋2kπ(k∈Z)，

π ∴函数的定义域为x|2kπ＜x≤3＋2kπ，k∈Z .

π

答案 2kπ，3＋2kπ (k∈Z)

sin x＋1

7．函数y＝sin x＜x＜π)的最小值为________．

11

解析 令sin x＝t∈(0,1]，则函数y＝1＋tt∈(0,1]．又y＝1＋t在t∈(0,1]上是减函数，所以当t＝1时，y取得最小值2. 答案 2

π

8．已知函数f(x)＝3sin(ωx－ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全

6π

相同，若x∈ 0，2，则f(x)的取值范围是______．

解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝ππ

2，所以f(x)＝3sin 2x－6，那么当 x∈ 0，2时，

ππ5π1π 3

－6≤2x－66 所以－2sin(2x－6≤1，故f(x)∈ －23 .

3

答案 －2，3

三、解答题

9．(2013·潮州二模)已知函数f(x)＝3(sin2 x－cos2x)－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期；

ππ(2)设x∈ －33，求f(x)的单调递增区间．

解 (1)∵f(x)＝－3(cos2x－sin2 x)－2sin xcos x

π

3cos 2x－sin 2x＝－2sin 2x＋3 ，

∴f(x)的最小正周期为π.

ππ ππ

(2)∵x∈ －3，3 ，∴－3≤2x＋3≤π，

π

当y＝sin 2x＋3单调递减时，f(x)单调递增．

ππππ

∴2≤2x＋3π，即12≤x3. ππ故f(x)的单调递增区间为 123.

π ππ

10．(1)求函数y＝2sin 2x＋3 －6x＜6的值域；

(2)求函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域． πππ2π

解 (1)∵－6＜x6，∴0＜2x＋33， π

∴0＜sin 2x＋3 ≤1，

π 2x＋ ∴y＝2sin的值域为(0,2]． 3 (2)y＝sin xcos x＋sin x＋cos x sin x＋cos x 2－1 π

x＋4 ＝2sin

2 π π1

＝sin2 x＋4＋2sin x＋4－2

π 2 2 π

＝ sin x＋ ＋－1，所以当sin x＋4 ＝1时，

4 2

11

y取最大值1＋2－222.

2 π当sin x＋4＝－2y取最小值－1，

1 ∴该函数的值域为 －1，22 .

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

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