【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义：第3

第3讲 三角函数的图象与性质

[最新考纲]

1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． ππ2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在 －22上的性质

.

知 识 梳 理

正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中k∈Z).

1．周期性的判断

(1)(教材习题改编)由sin(30°＋120°)＝sin 30°知，120°是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期． (×)

ππ

(2)函数y＝tan 2x＋3的最小正周期为2 (√)

2．判断奇偶性与对称性

3π

(3)函数y＝sin 2x＋2是奇函数． (×)

π

(4)函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kπ＋2(k∈Z)．(×) 3．求三角函数的单调区间

ππ

(5)函数f(x)＝sin(－2x)与f(x)＝sin 2x的单调增区间都是 kπ－4，kπ＋4 (k∈Z)．

(×)

(6)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数． 4．求三角函数的最值 (7)存在x∈R，使得2sin x＝3. (×)

ππ2

(8)(教材习题改编)函数f(x)＝sin 2x－4在区间 0，2上的最小值为－.

2 (√) [感悟·提升]

1．一点提醒 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解． 2．三个防范 一是函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ，而不是x＝2kπ(k∈Z)．

二是对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间ππ

kπ－2，kπ＋2 (k∈Z)内为增函数，如(6)．

三是函数y＝sin x与y＝cos x的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sin x

3

＝2，如(7).

考点一 三角函数的定义域、值域问题

【例1】 (1)函数y＝sin x－cos x的定义域为________．

(2)当x∈ π7π 6，6 时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是________，最大值是

________．

解析 (1)法一 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象， 在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为π5π

44，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为

x 2kπ＋π4x≤2kπ＋

5π4，k∈Z

.

法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为

x 2kπ＋πx≤2kπ＋5π

k∈Z

44

. 法三 sin x－cos x＝2sin x－π4 π ≥0，将x－4由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－π

4π＋2kπ，k∈Z， 解得2kπ＋π5π

4x≤2kπ＋4k∈Z.

所以定义域为 x 2kπ＋π5π

4x≤2kπ＋4k∈Z

. (2)y＝3－sin x－2cos2x

＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2sin2 x－sin x＋1， 令sin x＝t∈ －12，1

，

∴y＝2t2

－t＋1＝2 t－1427 1

＋8，

t

∈ －2，1

，

7

∴ymin＝8ymax＝2. 答案

π5π

(1) x 2kπ＋4x≤2kπ＋4k∈Z

7(2)8 2

规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x和cos x的值域直接求．

②把形如y＝asin x＋bcos x的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域． ③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．

6cos4 x＋5sin2x－4【训练1】 (2014·广州模拟)已知函数f(x)＝，求f(x)的定义域

cos 2x和值域．

π

解 由cos 2x≠0得2x≠kπ＋2，k∈Z，

kππ

解得x≠24k∈Z，

kππ

所以f(x)的定义域为 x|x∈R，且x≠24，k∈Z .

4242

6cos x＋5sin x－46cos x＋5－5cosx－4f(x)＝

cos 2x2cosx－1

2cos2x－1 3cos2x－1 ＝3cos2x－1. 2cosx－1

11 所以f(x)的值域为y|－1≤y＜22y≤2 .

考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性

3π

【例2】 (1)已知函数f(x)＝sin 2x＋2 (x∈R)，下面结论错误的是

A．函数f(x)的最小正周期为π B．函数f(x)是偶函数

π

C．函数f(x)的图象关于直线x＝4对称

( )．

π

D．函数f(x)在区间 0，2上是增函数

4π

(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 30 中心对称，那么|φ|的最小值为

ππππ

A.6 B.4 C.3 2

3π 2x＋解析 (1)f(x)＝sin ＝－cos 2x，故其最小正周期为π，A正确；易知函数2 f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关π π

于直线x＝4C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在 02 上是增函

数，D正确，故选C.

4π 2π

2×φφ＋2π (2)由题意得3cos ＝3cos3 3 2ππ 2π

＝3cos 3φ ＝0，∴3φ＝kπ＋2，k∈Z，

π

∴φ＝kπ－6，k∈Z，取k＝0， π

得|φ|的最小值为6. 答案 (1)C (2)A

规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝2π

Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为T＝|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx＋b的形式．

π

(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝2＋kπ(k∈Z)，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可． πx－【训练2】 (1)函数y＝2cos 4－1是

2

( )．

( )．

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 π

C．最小正周期为2的奇函数 π

D．最小正周期为2的偶函数

π |φ|π＜ (2)函数y＝2sin(3x＋φ)2 的一条对称轴为x＝12，则φ＝________. π2π π

解析 (1)y＝2cos2 x－4－1＝cos 2x－2＝sin 2x为奇函数，T＝2＝π.

π

(2)由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋2(k∈Z)， ππ

所以3×12φ＝kπ＋2k∈Z)， π

得φ＝kπ＋4k∈Z)， ππ又|φ|＜2，∴k＝0，故φ＝4π

答案 (1)A (2)4考点三 三角函数的单调性

【例3】 (2014·临沂月考)设函数f(x)＝sin(－2x＋φ)(0＜φ＜π)，y＝f(x)图象的一π条对称轴是直线x＝8.

(1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调区间．

ππ

审题路线 令(－2)×8＋φ2＋kπ，k∈Z 解得φ＝？又0＜φ＜π 得出φ值 把f(x)＝sin(－2x＋φ)，化为f(x)＝－sin(2x－φ) 令g(x)＝sin(2x－φ) 求出g(x)的单调区间 利用f(x)与g(x)的关系求f(x)的单调区间． ππ

解 (1)令(－2)×8＋φ＝kπ＋2，k∈Z， 3π

∴φ＝kπ＋4，k∈Z， 3π

又0＜φ＜π，∴φ＝4

3π3π …… 此处隐藏：2997字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……