Chapter 4 Basics of Fluid Flow-2(含连续方程)(4)

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§4-5 连续性方程(Equation of Continuity) 连续性方程 ——质量守恒定律对流 体运动的一个基本 约束 用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动必须 维持质点的连续性，即质点间 不能发生空隙。因此，净流入 控制体的流体质量必等于控制 体内因流体密度变化而增加的 质量。

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流体运动的连续性原理 根据质量守恒定律，不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量， 称其为流体运动的连续性原理。 由哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的例证： 动脉系统 心脏 静脉系统 毛细管系统

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一. 三维流动的连续性微分方程 在时间段dt 里，从 abcda ux d’ b dy c’ dx c d 面流入微元体的流体质量 为 ρu x d y d z d t 从a’b’c’d’面流出的流体质 量为 ( ρu x ) ρu x + x d x d y d z d t 净流入前后这一对表面的流 体质量为 ( ρu x ) d xd yd zdt xza’ dz b’o xy

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同理可知，在时间段dt里，沿着 y 方向和 z 方向净 a d d’ b dy uz c’ dx 和 ( ρu z ) d xd yd zdt zzuy a’ dz b’流入左右和上下两对表面 的流体质量分别为 ( ρu y ) y d xd yd zdtco xy

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在时间段dt 里，微元内流体质量的增加为 ρ d x d y d z dt t 根据质量守恒原理 (ρuy ) (ρux ) (ρuz ) ρ d x d y d z dt d x d y d z dt d x d y d z dt = d x d y d z dt x y z t简化 ρ ( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) + + + =0 t x y z或写成 ρ + ( ρu) = 0 t三维流动的连 续性微分方程

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恒定流动的连续方程 ( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) ( ρu ) = + + =0 x y z 对于不可压缩流体的流动（不论是恒定或非 恒定），连续方程为 u x u y u z u = + + =0 x y z

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u x u y u z u = + + x y z速度场的散度流体微团在三个互相垂直方 向上的线变形速率之和，也 是流体微团的体积膨胀率。 连续方程 u = 0 表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有 另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。

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试用微元分析法在极坐标中写出平面流动的微分形式连续方程uθur rdθ dr ρ 1 ( ρrur ) ( ρuθ ) + + =0 t r r θ dθ r o ρ ( ρur ) ρur 1 ( ρuθ ) + + + =0 r r θ t rθ

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二. 恒定总流的连续性方程 控制体：上游过水断面 A1 和下游过水断 面 A2 之间的总流管 A2 Qm A1Qm 恒定条件下：¾ 总流管的形状、位置不随时间变化。 ¾ 总流内的流体是不存在空隙的连续介质，其密度分布恒 定，所以这段总流管内的流体质量也不随时间变化。 ¾ 没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个 过流断面进出控制体。

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根据质量守恒定律即可得出结论：在单位时间内通过 A1 流入控制体的流体质量等于通过 A2 流出控制体的流体质量。∫∫ ρu d A = ∫∫ ρu d AA1 A2Qm1 = Qm 2恒定总流 连续方程通过恒定总流两个过水断面的质量流量相等。 又若流体不可压，ρ = const∫∫ u d A = ∫∫ u d AA1 A2即Q1 = Q2或A1v1 = A2 v2通过恒定总流两个过水断面的体积流量相等。

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对于不可压缩流体，根据连续 方程，容易理解 为什么流线的疏 密能够反映流速 的大小。 在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须 作相应变化。质量的总 流入 = 质量的总流出。Qm1Qm2Qm1 = Qm 2 + Qm3Qm3

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流体运动学小结概念物质（质点）导数、时变导数、位变导数 流线与迹线 均匀流与非均匀流、渐变流与急变流 恒定流与非恒定流 有旋（涡）流与无旋（涡）流 有势流与流函数 流体微团速度分解的物理含义连续性方程

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关于流体运动学的问题流体微团的运动包括哪几种形式？如何描述不 同的运动形式？ 如何判断一种运动是有旋（涡）的或无旋 （涡）的？ 连续性方程的基本形式和不同条件下的简化形 式有哪些？

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亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义u = u + [Ε ] d r + Ω × d r基准点是 展开点M 平移 变形 转动 点的流速； ¾u :M ¾ u : M 点的流速； ¾ [Ε] d r : 流体变形率张量 [E] 对两点相对运动速度的贡献，包括线变形和角变形； ¾ Ω × d r : 流体平均旋转角速度 Ω 引起的两点相对运动速度。

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有旋流动和无旋流动旋度 ×u = 0 ?有旋流动 ×u = x y z ux uy uz旋度ijk无旋流动 判别：唯一的标准是看流速场是否满足 × u = 0 ，写成分量形式为： u u y = , y zz u x u z = , z x u y u x = x y

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连续性方程的基本微分形式 ρ ( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) + + + =0 t x y z或写成 三维流动的连 续性微分方程 ρ + ( ρu) = 0 t

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恒定流动的连续方程 ( ρu x ) ( ρu y ) ( ρu z ) ( ρu ) = + + =0 x y z 对于不可压缩流体的流动 （不论是恒定或非恒定）， 连续方程为 u x u y u z u = + + =0 x y z

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连续方程的积分形式：恒定总流过水断面∫∫ ρu d A = ∫∫ ρu d AA1 A2Qm1 = Qm 2恒定总流 连续方程通过恒定总流两个过水断面的质量流量相等。 对于不可压流体，ρ = const∫∫ u d A = ∫∫ u d AA1 A2即Q1 = Q2或A1v1 = A2 v2通过恒定总流两个过水断面的体积流量相等。

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连续方程的积分形式：分叉流动Qm1Qm2∑Q = ∑QI i i jO jQm3Qm1 = Qm 2 + Qm 3