初等数学研究第三章答案 李长明 周焕山编 习题三1至23题(2)

e

2x

1 y1 y

,

x

12ln1 y1 y

.

2x ln1 y

1 y1 y

1 0 0 1 y 0

或 0.

1 y 1 0 0 1 y 0

1 y 1

函数的值域为（-1，1）.

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（8） y 1 lg

1 lg

2

2x2 1

xx

(1 x 2)是增函数

2 12 124

1 lg y 1 lg

35

23

10 y lg203

45 10

1 lg

2x

1 lg

2

2

2

2 1

lg

lg

y lg8

203,lg8). 1

函数定义域为(lg

（9） 0 arccos(x )

2

0 3arccos(x y 3arccos(x

13

13) 3

)的值域为(0,3 ).

（10） y arcctgx在(0, )是减函数

arcctg

arcctg

arcctg

arcctg arcctg

arcctg0

6

arcctg ].

2

函数的值域为[

6,2

8、已知f(4x 1)

5x 44x 3

2

,试求f(x)的值域。

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解：令t 4x 1,则x

t 14

.因此y f(t)

5t 11t 2t 11

2

.

再将自变量t换成x,得： y f(x)

5x 11x 2x 11

2

.

x

R且x 1

yx2 (2y 5)x 11(y 1) 0 当y 0时，上式是关于实数x的二次方程，故：

(2y 5) 44y(y 1) 0

2

即 48y2 64y 25 0

y ( ,0) (0, ).

当y=0时，f(x)有意义。 因此，f(x)的值域是( , ).

9、求下列函数的反函数，并求反函数的定义域和值域。 （1

）y （2）y 解：（1）由x

x

2 y2

2

2x5x 1

.

2 y2y

2

2

1

y

2

2

.有y 2x 2.

2

1

2

x

2

x,y互换，得 y 1

2

(x 0)

这就是所求的函数的反函数。

在原函数y 2x 2 0,有x 1.

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反函数y 1

x

2

2

的值域为( ,1]，定义域为( ,0]. ， 5x 1 0,x

1

1512

（2） y

2x5x 1

, ).

函数的定义域为( , ) (

5

由y

2x5x 1

，解出x:x

x2 5x

y2 5y

25

x,y互换，得，y ,x ， 2 5x 0

) (, ).

552

2

.

原函数的反函数的值域为：( ,

10、试证函数y 1

1x

2

有下界但无上界。

证明：函数的定义域是

D ( ,0) (0, ).

x D,有

1x

22

0 1

1x

2

1 .

y 1

1x

有下界1.

1x

2

如果y 1

1

1x

2

有上界，则必存在M>1，使对于 x R.有：

2

M,即x

1M 1

2

.但此式不能成立。因为当M>1时，

1M 1

总

有x

y 1

1x

2

1使x ，即1

1x

2

M，所以

无上界。

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11、设函数f(x)和g(x)具有同一定义域D，是有界函数，但

g(x)没有上界。求证：f(x)与g(x)的和在定义域D上无上

界。

证明：设M是f(x)的上界，则对于任意x D,f(x) M. 因g(x)无上界，所以对于任意给定的p>0，都存在x1 D,使

g(x1) M p.所以

f(x1) g(x1) g(x1) f(x1) (n p) M p.

所以，f(x)与g(x)的和在D上无上界。 12

、讨论函数y 解：设u g(x)

u

y f(u) 2

因指数函数y 2n是增函数，故y f[g(x)]的增减性就取决

于g(x)

被开放数g2(x) x2 2x 8 0.所以定义域为[-2,4]. 又 x2 2x 8 9 (x 1)2,定义域被划分为增减性不同的两个区间[-2,1]和[1，4]. 当 2 x1 x2 1时，则有：

g(x1) g(x2) (x2 x1)(x2 x1 2) 0

g(x1) g(x2). 又g(x1) 0,g(x2) 0.

2

22

2

g(x1) g(x2). 即u1 u2, 2

n1

22.

n

因此，函数y f[g(x)]在区间[-2,1]上递增， 同理可证：y f[g(x)]在区间[1，4]上递减。

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13、判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x) x5(x2 1) （2）f(x) lg(1 x) lg(1 x) （3）f(x)

1x 2

（4）y sin2x cosx

（5）y cos(sinx) （6）y x2 2x 1

解：（1） f( x) ( x)5[( x)2 1] x5(x2 1) f(x)

f(x) x(x 1)是奇函数。

5

2

（2） f( x) lg[1 ( x)] lg[1 ( x)]

lg(1 x) lg(1 x) f(x)

f(x) lg(1 x) lg(1 x)是偶函数。

（3） f( x)

1( x) 2

12 x

f(x)

1x 2

.

f( x) f(x). f( x) f(x)

f(x)

1x 2

是非奇非偶函数。

（4）设f(x) sin2x cosx,则f( x) sin2( x) cos( x) sin2x cosx

f(x) sin2x cosx

f( x) f( x) f( x) f(x)

y f(x) sin2x cosx是非奇非偶函数。

（5）设f(x) cos(sinx)，

则f( x) cos[sin( x)] cos[ sinx] cos(sinx) f(x)

y f(x) cos(sinx)是偶函数。

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（6）设f(x) x2 2x 1,则f( x) ( x)2 2 x 1

x 2x 1

2

f(x)

y f(x) x 2x 1是偶函数。

2

14、设g(x)是实数集上奇函数，判断f(x) g(x)(（其中a 0,a 1）的奇偶性。 解：设h(x)

1a 1

xx

1a 1

x

12

)

12

.则h( x)

1a

( x)

1

12

11a

x

12

1

a

xx

1 a

x

12

12

a 1 11 a

x

12

1

1a 1

x

12

12

1a 1

x

(

1a 1

) h(x).

h(x)是奇函数。

又 g(x)是实数集上的奇函数

f(x) g(x) h(x)在实数集上是偶函数。 15、已知y lg

1 x1 x

,判断它的奇偶性，并求它的单调区间。

1 x

0, 1 x 1, 函数定义域为（-1，1）解： 。 1 x

设f(x) lg

1 x1 x

,则

1 x 11 x

f( x) lg lg lg() lg f(x)

1 x1 x1 x1 x

1 x

11 x

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1 x

f(x) lg,在定义域上为奇函数。

1 x