初等数学研究第三章答案 李长明 周焕山编 习题三1至23题

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

习题三

1、已知半径为r的圆为内接等腰梯形ABCD。它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上。

（1）写出梯形的周长y和腰长x间的函数关系式，并求其定义域；

（2）当腰长为何值时，该等腰梯形的周长有最大值，并求出最大值。 解：（1）作

DE AB于E

连DB，则 ADB 90

ADB∽ AED

ADAB

AE AD

AD2 AE AB AE

AD

2

AB

又 DC AB 2AE y DC AB 2AD

AB 2AE AB 2AD

2r 2AD

2

AB

2r 2x

2r 2x2

2r 2r 2x 4r x

2

r

2x

x

2

r

2x 4r.

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

又 x 0，且

x

2

2r

AE

r，即x

。 函数的定义域为（0）

（2）y 大值5r.

1r

(r x) 5r，所以当腰长x=r时，周长y有最

2

2、设函数y f(x)定义在R上，当x>0时，f(x) 1,且对于任意m,n R，有f(m n) f(m) f(n). 又当m n时，f(m) f(n). 求证：（1）f(0) 1.

（2）对于任意x R，均有f(x) 0.

证明：（1） 对任意m,n R，有f(m n) f(m) f(n).

令m=n=0,则有f(0 0) f(0) f(0)

即f(0) f(0) f(0). f(0) [f(0) 1] 0. f(0) 1 或 f(0) 0 .

若f(0) 0.则对于任意m>0,有f(m) f(m 0) f(m) f(0) 0 和题设矛盾。因此，f(0) 1.

（2）由题设和（1）的结论，当x 0时，f(x) 1 0，

假设x 0，则 x 0，因而f( x) 1。 但是f(x) f( x) f(x x) f(0) 1 所以，f(x)

1f( x)

0.

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

3、判断下列各组函数是不是同一函数，并说出理由。 （1）f(x) lgx2, g(x) 2lgrx. （2

）f(x) x, g(x)

解：（1）是同一函数。因为定义域相同：x R 0 .且对每个x,对应值也相等。

（2）不是同一函数。因为当g(x) 0.

4、求下列函数的定义域 （1

）y (4x 5)

（2）y log(2x 1)(3x 2) （3

）y

（4

）y

lg(9 3x

)

（5

）y （6

）y lg(5 2x

)

（7）y arccos(2x2

x)

（8

）y arcsin(x 1) 1

1

（9

）y

(1 sinx)4

（10）y lgcos3x

x<0时，f(x) 0，而

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

5 4x 5 0x 4 8

解：（1） 1 0 ， x 8

x 0 x

x 0

5

54

4

5

x 4

， 8 x 8

x 0

函数定义域为：[ 8,0) (0,) (,8].

2

x 3

3x 2 0

1

（2） 2x 1 0 x

2 2x 1 1.

x 1

函数的定义域为：(,1) (1, ).

3

2

log0.5(log2x2 1) 0

（3） log2x2 1 0

x2 0

0 log2x2 1 1 2-1 x2 1

log2x2 1 x2 2 1 x 0 x 0

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

x 1 或 1 x

2

2 x 或 x

22

x 0

函数定义域为：[( 1,

2

(

2

,1)].

9 3x 1 lg(9 3x) 0 3x 8 xxx

9 3 0 3 9 3 32 （4）

x 2 7 7 x 2 0 7 x 2 7

x log38

x 2 log38 x 2或 5 x log38 5 x 9

函数定义域为：[( 5,log38) (log38,2)].

2x 1

0. （5） 1 ()

1

3

2x 1

1. ()

1

3

2x 1 0. x

12

函数定义域为[

12

, ]

1 x log

x 1 logx 0 x 1

x 0

（6） x 0 x 0

5 5 2x 0 2x 5

x

2

5

2

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

函数定义域为：[1,

52

).

（7） 1 2x2 x 1

1

2x x 1 0 ① 由① x 1 2 2 2x x 1 0 ② 由②x R

2

函数的定义域为：[1,).

2

0 x 2

1 x 1 11

（8） 1 x 2

5 5x 1 0 x

5

5

函数的定义域为：(,2].

5

1

sinx 1 0

2k .k .（9） sinx 1 x 2 1 sinx 0

函数的定义域为： xx 2k ,k .

2

（10） cos3x 0 2k

2k 3

2

3x

2

2k .

6

x

n6

2k 3

,k .

2k 2k

函数的定义域为： x x ,k .

3636

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

5、（1）已知函数f(x)的定义域是[1,4]，求f(

1x

2

)的定义域。

（2）已知函数f(x)的定义域是[-2,2]

，求f的定义域。 （3）已知函数f(x)的定义域是(,3)，求f( lg)x的定义域。

21

解：（1） 1

1x

2

4

11

x x 或

22

1 x 1

21

x

4

x2 1

12

x 1 或 1 x

1

1

12

1

函数f(（2

） 2

)的定义域为[,1] [ 1, ]. x22

2

2

0 x 4

函数定义域为[0,4].

1 1

2 lgx 3 lg10 lxg （3） 2

x 0x 0

lg1 0

3

1

102 x 10

3

函数定义域为3).

22

6、设函数f(x) (x 4kx 4k k

1k 1

)

12

(k ).求证

f(x)的定义域为实数集R的充要条件是k 1.

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

证明：

f(x) (x 4kx 4k k

2

2

1k 1

)

12

(k ).

f(x)的定义域为实数集R的充要条件是对任意x R，有

x 4kx 4k k

22

1k 1

0 (*)

（*）成立的充要条件是

(4k) 4(4k k

2

2

1k 14

) 0.

即16k 16k 4k

k

1k 1

22

k 1

2

0

0

k k 1k 1

0.

k 1.

f(x)的定义域为实数集R的充要条件是k 1. 7、求下列函数的值域： （1）y （2）y （3

）y （4）y

x xx x 1

7

2

2

cosx sinx 3

2x 1

2x 1

（5

）y 2x 3

选填,简要介绍文档的主要内容, …… 此处隐藏：1966字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……