线性代数 相似矩阵及二次型 第三课时(2)

例1:已知二次型：

f x1 3 x 2 x 3 4 x 4 2 x1 x 2 4 x1 x 3 8 x1 x 4 4 x 3 x 4 1 1 A 2 4 1 2 0 1 2 4 0 2 4

写出二次型的矩阵 A,并求出二次型的秩.设 解： f x T Ax 则: 3 0 0

不难求出R(A)=3,即二次型的秩为3.

线性代数授课课件

二、矩阵的合同

相似矩阵及二次型

1、定义 设给定两个n阶方阵A和B,如果存在可逆 矩阵P,使得: B P T AP则称矩阵A与矩阵B合同，或A、B是合同矩阵. (1) 矩阵P必须可逆; 说明： (2) 由定理7知，任一对称矩阵A,存在正交矩阵P, 1 T P AP P AP Λ 为对角阵 ; 使得: 因此，任一对称矩阵都与对角阵合同. (3)随着P的不同,与矩阵A合同的矩阵也不相同,即 合同矩阵不唯一. 2、方阵的合同有以下三条性质： (1) 自反性； 对称性； 传递性. (2) (3)

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三、化二次型为标准形

(1)问题的引入 对于二次型f x T Ax , 寻求一个可逆的线性变换 : x 1 c 11 y 1 c 12 y 2 c 1 n y n , x 2 c 21 y 1 c 22 y 2 c 2 n y n , (4) x c y c y c y . n1 1 n2 3 nn n n

相似矩阵及二次型 正交变换法 配方法

将二次型化为标准形,即:f k1 yf xT

2 1

k2 y

2 2

kn yT

2 n

也叫法式

令 C (c ij ) n n ( 4 )式变为 x Cy 代入 f x T Ax 有Ax ( Cy )T

A ( Cy ) y ( C

T

AC ) y