信号与系统 第3章傅里叶变换

第三章 傅里叶变换3.1 引言

3.2 周期信号的傅里叶级数分析3.3 典型周期信号的傅里叶级数 3.4 傅里叶变换 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换 3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 3.7 傅里叶变换的基本性质 3.8 卷积特性(卷积定理) 3.9 周期信号的傅里叶变换

3.10 抽样信号的傅里叶变换3.11 抽样定理

傅里叶生平

1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号 都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出 收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析 理论”中

傅里叶的两个最主要的贡献——

―周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权”—— 傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶 的第二个主要论点

3.1 引言频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生 的，这方面的问题也称为傅里叶分析(频域分析)。将信号进 行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的 频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从 而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要 概念。

发展历史 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导 理论时发表了“热的分析理论”,提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广 阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换 法具有很多的优点。 “FFT‖快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。

主要内容 本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变 换，建立信号频谱的概念。 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里 叶分析方法的应用。 对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数， 也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种 特殊表达形式。 本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。

*本章要点1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间

的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理

将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之 间进行比较提供了途径。 2.从系统分析角度 已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个 不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通 过系统后，是衰减还是增强一目了然。

3.2 周期信号的傅里叶级数分析 三角函数形式的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数

两种傅里叶级数的关系 频谱图 函数的对称性与傅里叶级数的关系 周期信号的功率

一.三角函数形式的傅里叶级数1.正交三角函数集 三角函数系 , cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,..., cos nx, sin nx,... 1在区间[-π,π]上正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函 数的乘积在区间的积分等于零，即

cos nxdx 0(n 1,2,3,...)

sin nxdx 0(n 1,2,3,...)

sin k xcos nxdx 0(k , n 1,2,3,...)

cos k xcos nxdx 0(k , n 1,2,3,..., k n)

sin k xsin nxdx 0(k , n 1,2,3,..., k n)

以上等式都可以通过计算定积分来验证。

证明： 利用三角学中积化和差 的公式 1 cos k xcos nx= cos(k + n) x + cos(k n) x 2 当k n时，有 1 cos k xcos nxdx 2 cos(k + n) x + cos(k n) x dx 1 sin(k + n) x sin(k n) x k +n + 2 k n

0(k , n 1,2,3,..., k n)

2.级数形式在满足狄氏条件时，可展成

称为三角形式的傅里叶级数，其系数 直流分量 余弦分量的幅度 正弦分量的幅度 其中n=1,2,3,…。

狄利克雷(Dirichlet)条件条件1:在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是 有限个。 条件2:在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。 条件3: 在一周期内，信号绝对可积， 通常我们遇到的周期性信号都能满足狄利克雷条件，因此， 以后除非特别情况，一般不再考虑这一条件。

例1不满足条件1的例子如右图所示， 这个信号的周期为8,它是这样组 成的：后一个阶梯的高度和宽度是 前一个阶梯的一半。可见在一个周 期内它的面积不会超过8,但不连 续点的数目是无穷多个。f (t ) 11 2

L 8 O 8

L t

例2不满足条件2的一个函数是f (t ) 1 L L O 1 t

1

对此函数，其周期为1,有

说明在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期) 与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都是有限值 因为

例3周期信号 ，

f (t )

周期为1,不满足此条件。L 2 1 1 O L

1

2

t

周期单位冲激序列的频谱L

d T (t )

(1)L T1 T O

分析：狄氏条件是傅里叶级数存在的 充分条件。根据冲激信号的定义和特 性，其积分有确定值，傅里叶级数存 在。即L

T

t

F (nw 1 )L O

2w 1 w 1

w1

2w 1 w

满足离散性，谐波性，不满足收敛性，频带无限宽。

例3-2-1 求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。f (t )A/2 T1 2 T1 2

t

周期锯齿波的傅里叶级数展开式为

直流

基波

谐波

其他形式将式(1)中同频率项加以合并，可以写成另外两种形式：

余弦形式

正弦形式

幅度频率特性和相位频率特性

可画出频谱图 关系曲线称为幅度频谱图；幅度谱 关系曲线称为相位频谱图。相位谱 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。 φn cn c 0 c1 π c2 c3 0 ω1 3ω1 nω1 ω 0 ω1 3ω1 nω1 ω

二.指数形式的傅里叶级数根据欧拉公式：

j

代入得：