2014导数高考题压轴题及答案

2014导

数高考题及答

案

（2014全国新课标1文数 21 ）

（泉州市质检）

（2014福州市质检 文数22. )（本小题满分14分）已知函数f(x) alnx,g(x) x.其中2x R.

（Ⅰ）若曲线y＝f(x)与y=g(x)在x＝1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;

（Ⅱ）若f(x)≤g(x)－1对任意x>0恒成立,求实数a的值;

（Ⅲ）当a<0时，对于函数h(x)=f(x)－g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为kAB,若kAB 1,求a的取值范围.

22. 解: （Ⅰ）f'(x) a,g'(x) 2x,依题意得:a=2; ……………2分 x

曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x－y－2=0,

曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x－y－1=0. ……………3分 两直线间的距离为5……………4分 5

aa 2x2

（Ⅱ）令h(x)=f(x)－g(x)+1, ,则h'(x) 2x xx

当a≤0时, 注意到x>0, 所以h'(x)<0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5分

又h(1)=0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6分

当a>0时,h'(x) 2aa( x)( x)(x 0) x22

当0 x aa,h'(x) 0,当x 时,h'(x) 0 22

上是增函数,在 2 ，＋∞上是减函数, ……………8分 2 所以h(x)在 0∴h(x)≤f(aaaa) ln 1 2222

aa) h(1) 0) 0不符. h(与h(222因为h(1)＝0,又当a≠2时,所以a＝2. ……………9分

（Ⅲ）当a<0时,由(2)知h'(x)<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数,

不妨设0<x1≤x2,则|h(x1)－h(x2)|＝h(x1)－h(x2),|x1－x2|＝x2－x1, ……………10分

∴|h(x1)－h(x2)|≥|x1－x2|

等价于h(x1)－h(x2)≥x2－x1,即h(x1)＋x1≥h(x2)＋x2, ……………11分

令H(x)＝h(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1,H(x)在(0,＋∞)上是减函数,

a 2x2 x a∵H'(x) 2x 1 (x>0), ……………12分 xx

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立,∴a≤(2x2－x)min ……………13分

又x>0时, (2x2－x)min= 1 8

11∴a≤－,又a<0,∴a的取值范围是( , ]. ……………14分 88

（2014福建省高考文数22.）（本小题满分12分）

已知函数f(x) ex ax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线y f(x)在点A处的切线斜率为 1.学科网

（1）求a的值及函数f(x)的极值；

2（2）证明：当x 0时，x ex

x（3）证明：对任意给定的正数e，总存在x0，使得当x (x0, )时，恒有x

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