高等数学_同济第六版(上册)习题全解(3)

| f(x) A|<ε ,

即f(x)→A(x→x0).

9. 试给出x→∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.

解 x→∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f(x)当x→∞时的极限存在, 则存在X>0及M>0, 使当|x|>X时, |f(x)|<M.

证明 设f(x)→A(x→∞), 则对于ε =1, X>0, 当|x|>X时, 有|f(x) A|<ε =1. 所以 |f(x)|=|f(x) A+A|≤|f(x) A|+|A|<1+|A|.

这就是说存在X>0及M>0, 使当|x|>X时, |f(x)|<M, 其中M=1+|A|.

习题1 4

1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.

例如, 当x→0时, α(x)=2x, β(x)=3x都是无穷小, 但lim 2. 根据定义证明:

x2 9

(1)y=当x→3时为无穷小;

x+3

1

(2)y=xsin当x→0时为无穷小.

x

x2 9

证明 (1)当x≠3时|y|==|x 3|. 因为 ε >0, δ=ε , 当0<|x 3|<δ时, 有

x+3

x2 9|y|==|x 3|<δ=ε,

x+3

x2 9

所以当x→3时y=为无穷小.

x+3

1

(2)当x≠0时|y|=|x||sin≤|x 0|. 因为 ε >0, δ=ε , 当0<|x 0|<δ时, 有

x

1

|y|=|x||sin|≤|x 0|<δ=ε,

x

α(x)2α(x)

=, 不是无穷小.

x→0β(x)3β(x)

所以当x→0时y=xsin

1

为无穷小. x

1+2x

为当x→0时的无穷大. 问x应满足什么条件, 能使x

3. 根据定义证明: 函数y=|y|>104？

证明 分析|y|=

1+2x1111

=2+≥ 2, 要使|y|>M, 只须 2>M, 即|x|<.

M+2xx|x||x|

11+2x

, 使当0<|x 0|<δ时, 有>M, M+2x

证明 因为 M>0, δ=所以当x→0时, 函数y= 取M=104, 则δ=

1+2x

是无穷大. x

1

104+2

4. 求下列极限并说明理由: (1)lim

2x+1

;

n→∞x

. 当0<|x 0|<

1104+2

时, |y|>104.

1 x2

(2)lim.

x→01 x

解 (1)因为

2x+112x+11

=2+, 而当x→∞ 时是无穷小, 所以lim=2.

n→∞xxxx

1 x21 x2

(2)因为=1+x(x≠1), 而当x→0时x为无穷小, 所以lim=1.

x→01 x1 x

5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:

6. 函数y=xcos x在( ∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x→+∞ 时的无穷大？为什么？

解 函数y=xcos x在( ∞, +∞)内无界.

这是因为 M>0, 在( ∞, +∞)内总能找到这样的x, 使得|y(x)|>M. 例如

y(2kπ)=2kπ cos2kπ=2kπ (k=0, 1, 2, ),

当k充分大时, 就有| y(2kπ)|>M.

当x→+∞ 时, 函数y=xcos x不是无穷大.

这是因为 M>0, 找不到这样一个时刻N, 使对一切大于N的x, 都有|y(x)|>M. 例如

y(2kπ+)=(2kπ+)cos(2kπ+=0(k=0, 1, 2, ),

222

πππ

对任何大的N, 当k充分大时, 总有x=2kπ+

π

2

>N, 但|y(x)|=0<M.

11

7. 证明: 函数y=sin在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x→0+时的无穷大.

xx11

证明 函数y=sin在区间(0, 1]上无界. 这是因为

xx

M>0, 在(0, 1]中总可以找到点xk, 使y(xk)>M. 例如当

xk=

时, 有

y(xk)=2kπ+

12kπ+

2

(k=0, 1, 2, )

π

2

,

当k充分大时, y(xk)>M.

11

当x→0+ 时, 函数y=sin不是无穷大. 这是因为

xx

M>0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点xk, 使0<xk<δ, 但y(xk)<M. 例如可取

xk=

1

(k=0, 1, 2, ), 2kπ

当k充分大时, xk<δ, 但y(xk)=2kπsin2kπ=0<M.

习题1 5

1. 计算下列极限: (1)limx+5;

x→2x 3

2

22

解 limx+5=2+5= 9.

x→2x 32 32

(2)x2 3;

x→x2(2 3

=0. 解 x2 3=

x→(2+12

(3)limx 22x+1;

x→1xx2 2x+1=lim(x 1)2=limx 1=0=0.

解 lim

x→1x→1x x+x→1x+x2 32x2+x

(4)lim4x ;

x→03x2+2x

解 lim (5)lim

4x3 2x2+x=lim4x2 2x+1=1

.

x→03x2+2xx→03x+22

(x+h)2 x2

;

h→0h

222(x+h)2 x2

=limx+2hx+h x=lim(2x+h)=2x.

h→0h→0h→0hh

解 lim

(6)lim(2 1+12; x→∞xx

解 lim(2 1+12=2 lim1+lim12=2. x→∞x→∞xx→∞xxx (7)lim

x2 1; x→∞2x2 x 1

x2 1

1 12

解 lim2=lim=1.

x→∞2x x 1x→∞

2 22xx (8)lim

x2+x; x→∞x4 x2 x2+x=0(分子次数低于分母次数, 极限为零) x→∞x4 3x2 1

解 lim

1+1

23=0. 或 lim4=lim

x→∞x x2 x→∞

1 2 4

xx

x2+x

x2 6x+8

(9)lim2;

x→4x 5x+4

x2 6x+8=lim(x 2)(x 4)=limx 2=4 2=2.

解 lim2

x→4x 5x+4x→4(x 1)(x 4)x→4x 14 13 (10)lim(1+12 12; x→∞xx

解 lim(1+12 12=lim(1+1 lim(2 12=1×2=2. x→∞x→∞xxxx→∞x (11)lim(1+1+1+ +1n; n→∞242

1 (1n+1

解 lim(1+1+1+ +1n=lim=2.

n→∞n→∞2241

(12)lim

1+2+3+ +(n 1)

;

n→∞n2

(n 1)n1+2+3+ +(n 1)=1limn 1=1. 解 limlim=n→∞n→∞2n→∞n2n2n2

(13)lim 解 lim

(n+1)(n+2)(n+3)

;

n→∞5n3

(n+1)(n+2)(n+3)1

= (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).

n→∞5n35(n+1)(n+2)(n+3)111+21+3=1. =+lim(1n→∞5n35n→∞nnn5

或 lim

(14)lim1 33; x→11 x1 x

1 3=lim1+x+x2 3= lim(1 x)(x+2)= limx+2= 1.

解 lim(

x→11 x1 x3x→1(1 x)(x→1(1 x)(x→11+x+x21+x+x2)1+x+x2) 2. 计算下列极限: (1)limx+2x2; x→23

2

(x 2)20x3+2x2=∞. ==0, 所以 解 因为lim3limx→2x+2x216x→2(x 2)2

2

(2)limx;

x→∞2x+1

2

解 limx=∞ (因为分子次数高于分母次数).

x→∞2x+1

(3)lim(2x3 x+1).

x→∞

解 lim(2x3 x+1)=∞(因为分子次数高于分母次数).

x→∞

3. 计算下列极限: (1)limx2sin1;

x→0x

解 limx2sin1=0(当x→0时, x2是无穷小, 而sin1是有界变量). x→0xx (2)limarctanx. x→∞x

解 limarctanx=lim1 arctanx=0(当x→∞时, 1是无穷小, 而arctan x是有界变量). x→∞x→∞xxx 4. 证明本节定理3中的(2).