高等数学_同济第六版(上册)习题全解

习题1 1

1. 设A=( ∞, 5)∪(5, +∞), B=[ 10, 3), 写出A∪B, A∩B, A\B及A\(A\B)的表达式. 解 A∪B=( ∞, 3)∪(5, +∞), A∩B=[ 10, 5), A\B=( ∞, 10)∪(5, +∞), A\(A\B)=[ 10, 5).

2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A∩B)C=AC ∪B C . 证明 因为

x∈(A∩B)C x A∩B x A或x B x∈AC或x∈B C x∈AC ∪B C, 所以 (A∩B)C=AC ∪B C .

3. 设映射f : X →Y, A X, B X . 证明 (1)f(A∪B)=f(A)∪f(B); (2)f(A∩B) f(A)∩f(B). 证明 因为

y∈f(A∪B) x∈A∪B, 使f(x)=y

(因为x∈A或x∈B) y∈f(A)或y∈f(B) y∈ f(A)∪f(B), 所以 f(A∪B)=f(A)∪f(B). (2)因为

y∈f(A∩B) x∈A∩B, 使f(x)=y (因为x∈A且x∈B) y∈f(A)且y∈f(B) y∈ f(A)∩f(B), 所以 f(A∩B) f(A)∩f(B).

4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使gDf=IX, fDg=IY, 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有IX x=x; 对于每一个y∈Y, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f 1.

证明 因为对于任意的y∈Y, 有x=g(y)∈X, 且f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射.

又因为对于任意的x1≠x2, 必有f(x1)≠f(x2), 否则若f(x1)=f(x2) g[ f(x1)]=g[f(x2)] x1=x2. 因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射.

对于映射g: Y→X, 因为对每个y∈Y, 有g(y)=x∈X, 且满足f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射.

5. 设映射f : X→Y, A X . 证明: (1)f 1(f(A)) A;

(2)当f是单射时, 有f 1(f(A))=A .

证明 (1)因为x∈A f(x)=y∈f(A) f 1(y)=x∈f 1(f(A)), 所以 f 1(f(A)) A. (2)由(1)知f 1(f(A)) A.

另一方面, 对于任意的x∈f 1(f(A)) 存在y∈f(A), 使f 1(y)=x f(x)=y . 因为y∈f(A)且f是单射, 所以x∈A. 这就证明了f 1(f(A)) A. 因此f 1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)y=x+2;

解 由3x+2≥0得x> 2. 函数的定义域为[ 2, +∞).

33 (2)y=12;

1 x

解 由1 x2≠0得x≠±1. 函数的定义域为( ∞, 1)∪( 1, 1)∪(1, +∞). (3)y=1 x2;

x

解 由x≠0且1 x2≥0得函数的定义域D=[ 1, 0)∪(0, 1]. (4)y=

; x2

解 由4 x2>0得 |x|<2. 函数的定义域为( 2, 2). (5)y=sinx;

解 由x≥0得函数的定义D=[0, +∞).

(6) y=tan(x+1);

ππ

解 由x+1≠(k=0, ±1, ±2, )得函数的定义域为x≠kπ+ 1 (k=0, ±1, ±2, ).

22 (7) y=arcsin(x 3);

解 由|x 3|≤1得函数的定义域D=[2, 4].

1

(8)y=3 x+arctan;

x

解 由3 x≥0且x≠0得函数的定义域D=( ∞, 0)∪(0, 3). (9) y=ln(x+1);

解 由x+1>0得函数的定义域D=( 1, +∞). (10)

y=ex

.

解 由x≠0得函数的定义域D=( ∞, 0)∪(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？

(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=x2;

(3)f(x)=x4 x3,g(x)=xx 1. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x tan2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.

(2)不同. 因为对应法则不同, x<0时, g(x)= x. (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.

|sinx| |x|<π

3, 求 π, π, ( π, ( 2), 并作出函数y= (x)的图形. 8. 设 (x)=

π464 0 |x|≥

3 解 (π=|sinπ=1, π=|sinπ|=2, ( π=|sin( π|=, ( 2)=0. 662442442 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: x

, ( ∞, 1); (1)y=1 x (2)y=x+ln x, (0, +∞).

证明 (1)对于任意的x1, x2∈( ∞, 1), 有1 x 1>0, 1 x 2>0. 因为当x1<x2时,

xxx1 x2

y1 y2=1 2=<0,

1 x11 x2(1 x1)(1 x2)所以函数y=

x

在区间( ∞, 1)内是单调增加的. 1 x

x1

<0, x2

(2)对于任意的x1, x2∈(0, +∞), 当x1<x2时, 有 y1 y2=(x1+lnx1) (x2+lnx2)=(x1 x2)+ln所以函数y=x+ln x在区间(0, +∞)内是单调增加的.

10. 设 f(x)为定义在( l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在( l, 0)内也单调增加.

证明 对于 x1, x2∈( l, 0)且x1<x2, 有 x1, x2∈(0, l)且 x1> x2. 因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以

f( x2)<f( x1), f(x2)< f(x1), f(x2)>f(x1),

这就证明了对于 x1, x2∈( l, 0), 有f(x1)< f(x2), 所以f(x)在( l, 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间( l, l)上的, 证明:

(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;

(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.

证明 (1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则 F( x)=f( x)+g( x)=f(x)+g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则

F( x)=f( x)+g( x)= f(x) g(x)= F(x), 所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F(x)=f(x) g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则 F( x)=f( x) g( x)=f(x) g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则

F( x)=f( x) g( x)=[ f(x)][ g(x)]=f(x) g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则

F( x)=f( x) g( x)=f(x)[ g(x)]= f(x) g(x)= F(x), 所以F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.

12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y=x2(1 x2); (2)y=3x2 x3; (3)y=1 x2;

1+x

2

(4)y=x(x 1)(x+1); (5)y=sin x cos x+1;

x x

(6)y=a+a.

2

解 (1)因为f( x)=( x)2[1 ( x)2]=x2(1 x2)=f(x), 所以f(x)是偶函数. (2)由f( x)=3( x)2 ( x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数.

1 ( x)21 x2

(3)因为f( x)===f(x), 所以f(x)是偶函数. 1+( x)1+x2

(4)因为f( x)=( x)( x 1)( x+1)= x(x+1)(x 1)= f(x), 所以f(x)是奇函数. (5)由f( x)=sin( x) cos( x)+1= sin x cos x+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数. (6)因为f( x)=a

( x)+a ( x)

xx

=a+a=f(x), 所以f(x)是偶函数.

2

2

13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y=cos(x 2); (2)y=cos 4x; (3)y=1+sin πx; (4)y=x cos x; (5)y=sin2 x.

解 (1)是周期函数, 周期为l=2π. (2)是周期函数, 周期为l=π.

2 (3)是周期函数, 周期为l=2. (4)不是周期函数. (5)是周期函数, 周期为l=π. 14. 求下列函数的反函数: (1)y=x+1; (2)y=1 x;

1+x

(3)y=ax+b(ad bc≠0);

cx+d (4) …… 此处隐藏：4137字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……