高等数学_同济第六版(上册)习题全解(2)

g[f(x)]=ef(x)= e0 |x|=1, 即g[f(x)]= 1 |x|=1.

e 1 |x|>1 e 1 |x|>1

19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角 =40°(图1 37). 当过水断面ABCD的面积为定

值S0时, 求湿周L(L=AC+CD+DB)与水深h之间的函数关系式, 并说明定义域. 图1

37 解

Ab=DC=

hsin40, 又从

得

1h[BC+(BC+2cot40D h)]=S

2BC=

S0

cot40D h, 所以 h

S02 cos40DL=+h.

sin40h

自变量h的取值范围应由不等式组

h>0,

确定, 定义域为0<h<0.

S0

cot40D h>0 h

20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数; (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0≤x≤100时, p=90.

令0. 01(x0 100)=90 75, 得x0=1600. 因此当x≥1600时, p=75. 当100<x<1600时,

p=90 (x 100)×0. 01=91 0. 01x. 综合上述结果得到

90 0≤x≤100

p= 91 0.01x 100<x<1600.

75 x≥1600

30x 0≤x≤100

(2)P=(p 60)x= 31x 0.01x2 100<x<1600.

15x x≥1600 (3) P=31×1000 0. 01×10002=21000(元).

习题1 2

1. 观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势, 写出它们的极限:

1

(1)xn=n;

2

1

(2)xn=( 1)n;

n1

(3)xn=2+2;

nn 1

; (4)xn=n+1 (5) xn=n( 1)n. 解 (1)当n→∞时, xn=

12

n

→0, lim

1

n→∞2n

=0.

11

→0, lim( 1)n=0.

n→∞nn

11

(3)当n→∞时, xn=2+2→2,lim(2+2)=2.

n→∞nn2n 1n 1=1 =1. →0,lim (4)当n→∞时, xn=

n→∞n+1n+1n+1

(5)当n→∞时, xn=n( 1)n没有极限.

(2)当n→∞时, xn=( 1)n

cosnπ

2. 问limx=? 求出N, 使当n>N时, x与其极限之差的 2. 设数列{xn}的一般项xn=nn

n→∞n绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N. 解 limxn=0.

n→∞

|cos|1

≤. ε >0, 要使|x 0|<ε , 只要1<ε, 也就是n>1. 取N=[1], |xn 0|= nnnεnε则 n>N, 有|xn 0|<ε .

1

当ε =0.001时, N=[]=1000.

ε

3. 根据数列极限的定义证明:

1

(1)lim2=0;

n→∞n

3n+13

=; (2)lim

n→∞2n+12

n2+a2

(3)lim=1

n→∞n (4)lim0. 999 9=1.

n→∞

n个

(1)分析 要使|

1n2

0|=

1n2

11

<ε, 只须n2>, 即n>.

ε

11

证明 因为 ε>0, N=[1, 当n>N时, 有|2 0|<ε, 所以lim2=0.

n→∞nn

113n+1 3|=1<1<ε, 只须<ε, 即n>. (2)分析 要使|

n+n+n4ε4n 证明 因为 ε>0, N=[

3n+133n+131

<ε, 所以lim=. , 当n>N时, 有|

n→∞2n+122n+124ε

a2n2+a2n2+a2 na2a2

(3)分析 要使| 1|==<<ε, 只须n>.

22εnnnn(n+a+n)

n2+a2n2+a2

1|<ε, 所以lim=1. 证明 因为 ε>0, N=[], 当 n>N时, 有|

n→∞nnε (4)分析 要使|0.99 9 1|=

110

<ε, 只须n 1

a2

110n 11

<ε , 即n>1+lg.

ε

1

证明 因为 ε>0, N=[1+lg, 当 n>N时, 有|0.99 9 1|<ε , 所以lim0. 999 9=1.

ε

n→∞

n个

4. limun=a, 证明lim|un|=|a|. 并举例说明: 如果数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有

n→∞

n→∞

极限.

证明 因为limun=a, 所以 ε>0, N∈N, 当n>N时, 有|un a|<ε, 从而

n→∞

||un| |a||≤|un a|<ε .

这就证明了lim|un|=|a|.

n→∞

数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限. 例如lim|( 1)n|=1, 但lim( 1)n不存在.

n→∞

n→∞

5. 设数列{xn}有界, 又limyn=0, 证明: limxnyn=0.

n→∞

n→∞

证明 因为数列{xn}有界, 所以存在M, 使 n∈Z, 有|xn|≤M.

ε

又limyn=0, 所以 ε>0, N∈N, 当n>N时, 有|yn|<. 从而当n>N时, 有

n→∞M

|xnyn 0|=|xnyn|≤M|yn|<M 所以limxnyn=0.

n→∞

ε

M

=ε,

6. 对于数列{xn}若x2k→a (k →∞), x2k+1→a (k →∞), 证明: xn→a (n →∞). 证明 因为x2k→a (k →∞), x2k+1→a (k →∞), 所以 ε>0, K1, 当2k>2K1时, 有| x2k a |<ε ;

K2,当2k+1>2K2+1时, 有| x2k+1 a |<ε..

取N=max{2K1, 2K2+1}, 只要n>N, 就有|xn a |<ε . 因此xn→a (n →∞).

习题1 3

1. 根据函数极限的定义证明: (1)lim(3x 1)=8;

x→3

(2)lim(5x+2)=12;

x→2

x2 4

= 4; (3)lim

x→ 2x+2

1 4x3

=2. (4)lim

x→ 12x+1

1

证明 (1)分析 |(3x 1) 8|=|3x 9|=3|x 3|, 要使|(3x 1) 8|<ε , 只须|x 3|<ε.

31

证明 因为 ε >0, δ=ε, 当0<|x 3|<δ时, 有|(3x 1) 8|<ε , 所以lim(3x 1)=8.

x→331

(2)分析 |(5x+2) 12|=|5x 10|=5|x 2|, 要使|(5x+2) 12|<ε , 只须|x 2|<ε.

5

1

证明 因为 ε >0, δ=ε, 当0<|x 2|<δ时, 有|(5x+2) 12|<ε , 所以lim(5x+2)=12.

x→25

(3)分析 |x ( 2)|<ε.

x2 4x2 4

证明 因为 ε >0, δ=ε, 当0<|x ( 2)|<δ时, 有 ( 4)<ε, 所以lim= 4.

x→ 2x+2x+2 (4)分析

x2 4x2 4x2+4x+4

( 4)==|x+2|=|x ( 2)|, 要使 ( 4)<ε, 只须

x+2x+2x+2

111 4x31 4x31

2<ε, 只须|x ( )|<ε. 2=|1 2x 2|=2|x ( |, 要使

222x+12x+12

111 4x31 4x3

=2. 证明 因为 ε >0, δ=ε, 当0<|x ( |<δ时, 有 2<ε, 所以lim

122x2+12x+1x→

2. 根据函数极限的定义证明: (1)lim

1+x32x3

sinx

x→∞

=

1

; 2

(2)lim

x→+∞

x

=0.

1+x32x3

证明 (1)分析

1

1+x3111+x3 x311

<ε ==, 只须, 要使<ε, 即

22|x|32x32|x|32x32

|x|>

2ε

.

证明 因为 ε >0, X=

sinxx

1

3

2, 当|x|>X时, 有1x

sinx

1+x32x311+x31 <ε, 所以lim=.

x→∞2x322

1x

<ε, 即x>

sinx

(2)分析 0=

|sinx|x< …… 此处隐藏：3089字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……